Kähler differentials and ${\mathbf{Z}}_p$-extensions

Berger, Laurent

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 1077-1084

Let $K$ be a $p$-adic field, and let $K_{\infty }/K$ be a Galois extension that is almost totally ramified, and whose Galois group is a $p$-adic Lie group of dimension $1$. We prove that $K_{\infty }$ is not dense in ${({\mathbf{B}}_{\mathrm{dR}}^{+}/{Fil}^2{\mathbf{B}}_{\mathrm{dR}}^{+})}^{Gal(\overline{K}/K_{\infty })}$. Moreover, the restriction of $\theta$ to the closure of $K_{\infty }$ is injective, and the image of the closure via $\theta$ is the set of vectors of the $p$-adic completion of $K_{\infty }$ that are $C^1$ with zero derivative for the action of $Gal(K_{\infty }/K)$. The main ingredient for proving these results is the construction of an explicit lattice of ${𝒪}_{K_{\infty }}$ that is commensurable with ${𝒪}_{K_{\infty }}^{d=0}$, where $d:{𝒪}_{K_{\infty }}\to {\Omega }_{{𝒪}_{K_{\infty }}/{𝒪}_K}$ is the canonical differential.

Soit $K$ un corps $p$-adique, et soit $K_{\infty }/K$ une extension galoisienne qui est presque totalement ramifiée, et dont le groupe de Galois est un groupe de Lie $p$-adique de dimension $1$. Nous montrons que $K_{\infty }$ n’est pas dense dans ${({\mathbf{B}}_{\mathrm{dR}}^{+}/{Fil}^2{\mathbf{B}}_{\mathrm{dR}}^{+})}^{Gal(\overline{K}/K_{\infty })}$. De plus, la restriction de $\theta$ à l’adhérence de $K_{\infty }$ est injective, et l’image de celle-ci via $\theta$ est l’ensemble des vecteurs du complété $p$-adique de $K_{\infty }$ qui sont $C^1$ de dérivée nulle pour l’action de $Gal(K_{\infty }/K)$. L’ingrédient principal pour montrer ces résultats est la construction d’un réseau explicite de ${𝒪}_{K_{\infty }}$ qui est commensurable avec ${𝒪}_{K_{\infty }}^{d=0}$, où $d:{𝒪}_{K_{\infty }}\to {\Omega }_{{𝒪}_{K_{\infty }}/{𝒪}_K}$ est la différentielle canonique.

Classification : 11S15, 11S20, 13N05
Keywords: Ramification, Different, Kähler differentials, Tate traces, rings of $p$-adic periods

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