${\widehat{𝒟}}_{𝔛,k,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$-modules holonomes sur une courbe formelle

Hallopeau, Raoul

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 3, pp. 869-917

Soit $𝒱$ un anneau complet de valuation discrète de caractéristique mixte $(0,p)$ et $𝔛$ une courbe formelle lisse sur $𝒱$. Pour le faisceau ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$ des opérateurs différentiels cristallins de niveau zéro engendré localement par les dérivations, Laurent Garnier a démontré que les ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$-modules holonomes au sens de Berthelot sont de longueurs finies. En reprenant les méthodes de Garnier, nous généralisons dans cet article ce résultat au cas des faisceaux ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,k,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$ introduits par Christine Huyghe, Tobias Schmidt et Matthias Strauch pour un niveau de congruence $k$ quelconque. Comme application, nous en déduisons que les modules coadmissibles à connexions intégrables sont de longueurs finies toujours lorsque $𝔛$ est une courbe formelle.

Let $𝔛$ be a formal smooth curve over a complete discrete valuation ring $𝒱$ of mixed characteristic $(0,p)$. Let ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$ be the sheaf of crystalline differential operators of level 0 (i.e. generated by the derivations). In this situation, Garnier proved that holonomic ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$-modules as defined by Berthelot have finite length. In this article, we address this question for the sheaves ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,k,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$ of congruence level $k$ defined by Christine Huyghe, Tobias Schmidt and Matthias Strauch. Using the same strategy as Garnier, we prove that holonomic ${\widehat{𝒟}}_{𝔛,k,\mathbb{Q}}^{\left(0\right)}$-modules have finite length. We finally give an application to coadmissible modules by proving that coadmissible modules with integrable connection over curves have finite length.

Classification : 14G22, 14F10, 16S32
Mots-clés : Arithmetic geometry, Analytic rigid geometry, Formal scheme, Arithmetic $\mathbb{D}$-modules, Characteristic variety, Holonomicity, Coadmissible modules

[1] Ardakov, Konstantin; Bode, Andreas; Wadsley, Simon $\widehat{𝒟}$-modules on rigid analytic spaces III : Weak holonomicity and operations, Compos. Math., Volume 157 (2021) no. 12, pp. 2553-2584 | Zbl | DOI | MR

[2] Berthelot, Pierre $𝒟$-modules arithmétiques I. Opérateurs différentiels de niveau fini, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 29 (1996) no. 2, pp. 185-272 | DOI | Zbl | MR

[3] Berthelot, Pierre Introduction à la théorie arithmétique des $𝒟$-modules, Cohomologies $p$-adiques et applications arithmétiques (II) (Astérisque), Volume 279, Société Mathématique de France, 2002, pp. 1-80 | Zbl

[4] Garnier, Laurent Théorèmes de division sur ${\widehat{D}}^{\left(0\right)}$ et applications, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 123 (1995) no. 4, pp. 547-589 | DOI | MR | Numdam | Zbl

[5] Hallopeau, Raoul Microlocalisation des modules coadmissibles sur une courbe formelle (2023) (https://hal.science/hal-03975658)

[6] Hotta, Ryoshi; Tanisaki, Toshiyuki $D$-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Springer, 2007, x+407 pages

[7] Huyghe, Christine; Schmidt, Tobias; Strauch, Matthias Arithmetic structures for differential operators on formal schemes, Nagoya Math. J., Volume 243 (2021), pp. 157-204 | DOI | Zbl | MR

[8] Huyghe, Christine; Schmidt, Tobias; Strauch, Matthias Arithmetic differential operators with congruence level structures : First results and examples, J. Number Theory, Volume 237 (2022), pp. 332-352 | DOI | MR | Zbl

[9] Leykin, Anton Algorithmic proofs of two theorems of Stafford, J. Symb. Comput., Volume 38 (2004) no. 6, pp. 1535-1550 | DOI | MR | Zbl

[10] Maisonobe, Philippe Germes de $𝒟$-modules à une variable et leurs solutions, dans Introduction à la théorie algébrique des systèmes différentiels p.97-146, Travaux en Cours, 34, Hermann, 1988 | MR

[11] Schneider, Peter; Teitelbaum, Jeremy Algebras of $p$-adic distributions and admissible representations, Invent. Math., Volume 153 (2003) no. 1, pp. 145-196 | DOI | MR | Zbl

[12] Virrion, Anne Dualité locale et holonomie pour les $𝔻$-modules arithmétiques, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 128 (2000) no. 1, pp. 1-68 | DOI | MR | Zbl