Values of $E$-functions are not Liouville numbers

Fischler, Stéphane; Rivoal, Tanguy

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 11 (2024), pp. 1-18

Shidlovskii has given a linear independence measure of values of $E$-functions with rational Taylor coefficients at a rational point, not a singularity of the underlying differential system satisfied by these $E$-functions. Recently, Beukers has proved a qualitative linear independence theorem for the values at an algebraic point of $E$-functions with arbitrary algebraic Taylor coefficients. In this paper, we obtain an analogue of Shidlovskii’s measure for values of arbitrary $E$-functions at algebraic points. This enables us to solve a long standing problem by proving that the value of an $E$-function at an algebraic point is never a Liouville number. We also prove that values at rational points of $E$-functions with rational Taylor coefficients are linearly independent over $\overline{\mathbb{Q}}$ if and only if they are linearly independent over $\mathbb{Q}$. Our methods rest upon improvements of results obtained by André and Beukers in the theory of $E$-operators.

Shidlovskii a donné une mesure d’indépendance linéaire de valeurs de $E$-fonctions à coefficients de Taylor rationnels en un point rationnel qui n’est pas une singularité du système différentiel sous-jacent vérifié par ces $E$-fonctions. Récemment, Beukers a prouvé un théorème d’indépendance linéaire qualitatif pour les valeurs en un point algébrique de $E$-fonctions à coefficients de Taylor algébriques arbitraires. Dans cet article, nous obtenons un analogue de la mesure de Shidlovskii pour des valeurs de $E$-fonctions arbitraires en des points algébriques. Cela nous permet de résoudre un problème longtemps ouvert : la valeur d’une $E$-fonction en un point algébrique n’est jamais un nombre de Liouville. Nous prouvons également que des valeurs aux points rationnels de $E$-fonctions à coefficients de Taylor rationnels sont linéairement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}$ si et seulement si elles sont linéairement indépendantes sur $\mathbb{Q}$. Nos méthodes reposent sur des améliorations de résultats obtenus par André et Beukers concernant la théorie des $E$-opérateurs.

Classification : 11J82, 11J91
Keywords: $E$-functions, André-Beukers theorems, linear independence measures, irrationality measures, transcendence measures, Liouville numbers, Shidlovskii’s theorem
Mots-clés : $E$-fonctions, mesures d’indépendance linéaire, mesures d’irrationalité, mesures de transcendence, nombres de Liouville, théorèmes d’André-Beukers, théorème de Shidlovskii

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