[Equivalents en temps petit pour la densité d’une diffusion de Langevin quadratique plane]
Exact small time equivalents for the density of the (heat kernel) semi-group, with a control of the error term, are obtained for a quadratic planar analogue of the Langevin diffusion, which is strictly hypoelliptic and non-Gaussian, and hence of a different nature from the known Riemannian, sub-Riemannian and linear-Gaussian cases. Two regimes are considered, an unscaled and a scaled one, where both can be seen as natural extensions beyond the degenerate Langevin-Gaussian framework. The result for the scaled regime seems to be the first such one in a non-Gaussian strictly hypoelliptic framework. The method is half-probabilistic, half-analytic.
Cet article fournit des équivalents exacts en temps petit, avec contrôle du terme d’erreur, relatifs à la densité (noyau de la chaleur) du semi-groupe associé à une diffusion quadratique plane, analogue non gaussien de la diffusion de Langevin. Dans ce cadre strictement hypoelliptique non gaussien, différent des cadres sous-riemannien et gaussien (linéaire), le régime de base et un régime rééchelonné sont considérés, qui sont tous deux des prolongements naturels du cas dégénéré Langevin-gaussien. L’étude du régime rééchelonné semble la première de ce type dans un tel cadre. La méthode suivie est mi-probabiliste mi-analytique, pour les deux régimes.
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DOI : 10.24033/bsmf.2792
Keywords: Strictly hypoelliptic diffusion, Strictly hypoelliptic heat kernel, Small time asymptotics, Brownian motion, oscillatory integral, Saddle-point method, Carnot-Carathéodory distance
Mots-clés : Diffusion strictement hypoelliptique, Noyau de la chaleur strictement hypoélliptique, Asymptotique en temps petit, Mouvement brownien, Intégrale oscillante, Méthode du point-selle, Distance de Carnot-Carathéodory
Franchi, Jacques 1
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Franchi, Jacques. Small time equivalents for the density of a planar quadratic Langevin diffusion. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 4, pp. 545-606. doi: 10.24033/bsmf.2792
Kinetic Brownian motion on Riemannian manifolds, Electr. J. Prob., Volume 20 (2015) | MR | Zbl
Densité des diffusions en temps petit : développements asymptotiques, Sém. Proba. XVIII, Lecture Notes, Springer, 1984, pp. 402-498 | MR | Zbl | Numdam
Développement asymptotique du noyau de la chaleur hypoelliptique hors du cut-locus, Ann. sci. É.N.S., Sér. 4, Volume 21 (1988), pp. 307-331 | MR | Zbl | Numdam
Développement asymptotique du noyau de la chaleur hypoelliptique sur la diagonale, Ann. Inst. Fourier, Volume 39 (1989), pp. 73-99 | MR | Zbl | Numdam | DOI
Large deviations and the Malliavin calculus, Progress in math., Birkhäuser, 1984 | MR | Zbl
Curvature terms in small time heat kernel expansion for a model class of hypoelliptic Hörmander operators, Nonlin. Anal., Th. Meth. Appl., Volume 164 (2017), pp. 118-134 | MR | Zbl | DOI
Asymptotic expansion of stochastic flows, Prob. Th. Rel. Fields, Volume 96 (1993), pp. 225-239 | MR | Zbl | DOI
Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965 | MR | Zbl | DOI
Density estimates for a random noise propagating through a chain of differential equations, J. F. A., Volume 259 (2010), pp. 1577-1630 | MR | Zbl | DOI
Lorentz-invariant Markov processes in relativistic phase space, Arkiv för Matematik, Volume 6 (1965), pp. 241-268 | MR | Zbl | DOI
Relativistic Diffusions and Schwarzschild Geometry, Comm. Pure Appl. Math., Volume LX (2007), pp. 187-251 | MR | Zbl | DOI
Hyperbolic Dynamics and Brownian Motion, Oxford Mathematical Monographs, Oxford Science Publications, 2012 | MR | Zbl | DOI
Small time asymptotics for an example of strictly hypoelliptic heat kernel, Séminaire de Probabilités XLVI. (Lecture Notes in Mathematics), Springer, 2014, pp. 71-103 | MR | Zbl | DOI
Hypoelliptic operators and some aspects of analysis and geometry of sub-Riemannian spaces, Geometry, Analysis & Dynamics on sub-Riemannian Manifolds I (Lect. Math.), EMS, Zürich, 2016, pp. 123-257 | MR | Zbl | DOI
Asymptotic formulae for stochastic oscillatory integrals, Asymptotic problem in probability theory: Wiener functionals and asymptotics (Elworthy, K. D.; Ikeda, N., eds.) (Pitman Res. Notes Math. S.), Longman Sc.Tech. (1993, 1981) (Asymp. prob. prob. th., Kyoto 1990) | MR | Zbl
Semiclassical Analysis for Diffusions and Stochastic Processes, Lecture Notes Math., Springer, 2000 | MR | Zbl | DOI
Intégration dans la fibre associée à une diffusion dégénérée, Prob. Th. Rel. Fields, Volume 76 (1987), pp. 341-358 | MR | Zbl | DOI
Small time asymptotic on the diagonal for Hörmander’s type hypoelliptic operators, J. Dyn. Control Syst., Volume 23 (2017), pp. 111-143 | MR | Zbl | DOI
Tube estimates for diffusion processes under a weak Hörmander condition, Ann. I.H.P., Volume 54 (2018), pp. 299-342 | MR | Zbl
Diffusion Processes in a Small Time Interval, Comm. Pure Applied Math., Volume 20 (1967), pp. 659-685 | MR | Zbl | DOI
Some aspects of Brownian motion. Part I. Some special functionals, Lectures in Math., ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992 | MR | Zbl
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