Variations autour d'un théorème métrique de Khintchine

Bugeaud, Yann; Moreira, Carlos Gustavo

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 3, pp. 507-538

Nous montrons qu'il n'existe pas de nombre réel typique du point de vue de l'approximation diophantienne, dans un sens précisé ci-après. Soit Ψ une application de l'ensemble des entiers strictement positifs dans l'ensemble des nombres réels positifs. Khintchine a démontré que, si la fonction q↦q2Ψ(q) décroît et si la série de terme général qΨ(q) diverge, alors l'ensemble 𝒦(Ψ) des nombres réels ξ pour lesquels l'inégalité |ξ-p/q|<Ψ(q) possède une infinité de solutions rationnelles p/q est de mesure de Lebesgue totale (Beresnevich, Dickinson et Velani ont démontré plus tard le même résultat en supposant seulement que Ψ est décroissante). Nous montrons que, pour presque tout nombre réel α, il existe une fonction Ψ qui satisfait de bonnes conditions de « régularité » (concernant la décroissance de Ψ), telle que la série de terme général qΨ(q) diverge alors que l'inégalité |α-p/q|<Ψ(q) ne possède aucune solution rationnelle p/q.

Khintchine a montré également que, si la série de terme général qΨ(q) converge, alors l'ensemble 𝒦(Ψ) est de mesure de Lebesgue nulle. Nous montrons que, pour presque tout nombre réel α, il existe une fonction Ψ qui satisfait de bonnes conditions de « régularité », telle que la série de terme général qΨ(q) converge alors que l'inégalité |α-p/q|<Ψ(q) possède une infinité de solutions rationnelles p/q.

Enfin, nous calculons les dimensions de Hausdorff d'ensembles d'exceptions à nos résultats (définis en fonction des conditions de régularité sur Ψ).

We prove that there are no typical real numbers from the point of view of Diophantine approximations, in a sense that we describe below. Let Ψ be an application from the set of positive integers into the set of nonnegative real numbers. Khintchine established that, if the function q↦q2Ψ(q) is non-increasing and the series ∑q≥1qΨ(q) diverges, then the set 𝒦(Ψ) of real numbers ξ for which the inequality |ξ-p/q|<Ψ(q) has infinitely many rational solutions p/q has full Lebesgue measure (Beresnevich, Dickinson and Velani proved later the same result assuming that Ψ is just non-increasing). We show that, for almost every real number α, there is a function Ψ which satisfies good “regularity” conditions (on the speed of decreasing of Ψ), such that the series ∑q≥1qΨ(q) diverges but the inequality |α-p/q|<Ψ(q) has no rational solution p/q.

Khintchine also showed that if the series ∑q≥1qΨ(q) converges, then the set 𝒦(Ψ) has zero Lebesgue measure. We show that, for almost every real number α, there is a function Ψ which satisfies good “regularity” conditions, such that the series ∑q≥1qΨ(q) converges but the inequality |α-p/q|<Ψ(q) has infinitely many rational solutions p/q.

We also compute Hausdorff dimensions of sets of exceptions to our results (in terms of the regularity conditions on Ψ).

Classification : 11J04, 11J83
Mots-clés : Approximation diophantienne, théorème de Khintchine, théorie métrique des nombres.
Keywords: Diophantine approximation, Khintchin's theorem, metric number theory.

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