Rational Blanchfield forms, S-equivalence, and null LP-surgeries

Moussard, Delphine

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 143 (2015) no. 2, pp. 403-431

Null Lagrangian-preserving surgeries are a generalization of the Garoufalidis and Rozansky null-moves, that these authors introduced to study the Kricker lift of the Kontsevich integral, in the setting of pairs (M,K) composed of a rational homology 3-sphere M and a null-homologous knot K in M. They are defined as replacements of null-homologous rational homology handlebodies of M∖K by other such handlebodies with identical Lagrangian. A null Lagrangian-preserving surgery induces a canonical isomorphism between the Alexander ℚ[t±1]-modules of the involved pairs, which preserves the Blanchfield form. Conversely, we prove that a fixed isomorphism between Alexander ℚ[t±1]-modules which preserves the Blanchfield form can be realized, up to multiplication by a power of t, by a finite sequence of null Lagrangian-preserving surgeries. We also prove that such classes of isomorphisms can be realized by rational S-equivalences. In the case of integral homology spheres, we prove similar realization results for a fixed isomorphism between Alexander ℤ[t±1]-modules.

Les chirurgies LP nulles sont une généralisation du “null-move” de Garoufalidis et Rozansky, que ces auteurs ont introduit pour étudier le relèvement de Kricker de l'intégrale de Kontsevich, dans le cadre des paires (M,K) composées d'une sphère d'homologie rationnelle M et d'un nœud homologiquement trivial K dans M. Elles sont définies comme des remplacements de corps en anses d'homologie rationnelle homologiquement triviaux dans M∖K par d'autres tels corps en anses de même lagrangien. Une chirurgie LP nulle induit un isomorphisme canonique entre les ℚ[t±1]-modules d'Alexander des paires concernées, qui préserve la forme de Blanchfield. Réciproquement, on prouve qu'un isomorphisme fixé entre des ℚ[t±1]-modules d'Alexander, qui préserve la forme de Blanchfield, peut être réalisé, à multiplication près par une puissance de t, par une suite finie de chirurgies LP nulles. On montre aussi que ces classes d'isomorphismes peuvent être réalisées par S-équivalence rationnelle. Dans le cas des sphères d'homologie entière, on prouve des résultats de réalisation similaires pour un isomorphisme fixé entre des ℤ[t±1]-modules d'Alexander.

Classification : 57M25, 57M27, 57N10, 57N65
Keywords: Alexander module, Blanchfield form, equivariant linking pairing, homology sphere, homology handlebody, Lagrangian-preserving surgery, Seifert matrix, S-equivalence, lift of the Kontsevich integral, null-move, Euler degree of the Kontsevich integral.
Mots-clés : Module d'Alexander, forme de Blanchfield, forme d'enlacement équivariante, sphère d'homologie, corps en anses d'homologie, chirurgie préservant le lagrangien, matrice de Seifert, S-équivalence, relèvement de l'intégrale de Kontsevich, null-move, degré d'Euler de l'intégrale de Kontsevich.

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