Lower bounds for ranks of Mumford-Tate groups

Orr, Martin

doi:10.24033/bsmf.2684

Lower bounds for ranks of Mumford-Tate groups
[Minoration des rangs de groupes de Mumford-Tate]

Orr, Martin

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 143 (2015) no. 2, pp. 229-246

Abstract (VO)
Résumé

Let $A$ be a complex abelian variety and $G$ its Mumford-Tate group. Supposing that the simple abelian subvarieties of $A$ are pairwise non-isogenous, we find a lower bound for the rank $rk G$ of $G$ , which is a little less than ${log}_{2} dim A$ . If we suppose furthermore that $End A$ is commutative, then we can improve this lower bound to $rk G \geq {log}_{2} dim A + 2$ and prove that this is sharp. We also obtain the same results for the rank of the $ℓ$ -adic monodromy group of an abelian variety defined over a number field.

Soit $A$ une variété abélienne complexe et $G$ son groupe de Mumford-Tate. En supposant que les sous variétés abéliennes simples de $A$ sont deux à deux non-isogènes, on trouve une minoration du rang $rk G$ de $G$ , légèrement inférieure à ${log}_{2} dim A$ . Si de plus on suppose que $End A$ est commutatif, alors on peut améliorer cette borne en $rk G \geq {log}_{2} dim A + 2$ , et montrer que cette borne-ci est optimale. On obtient les mêmes resultats pour le rang du groupe de monodromie $ℓ$ -adique d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2684

Classification : 14K15, 14G25, 22E55
Keywords: Abelian varieties, Mumford-Tate groups
Mots-clés : Variétés abéliennes, groupes de Mumford-Tate

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TY  - JOUR
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Orr, Martin. Lower bounds for ranks of Mumford-Tate groups. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 143 (2015) no. 2, pp. 229-246. doi: 10.24033/bsmf.2684

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