On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 2, pp. 357-372.

Le critère de Robin spécifie que l’hypothèse de Riemann (RH) est vraie si et seulement si l’inégalité de Robin σ(n):= d|n d<e γ nloglogn est vérifiée pour n5041, avec γ la constante d’Euler(-Mascheroni). Nous montrons par des méthodes élémentaires que si n37 ne satisfait pas au critère de Robin il doit être pair et il n’est ni sans facteur carré ni non divisible exactement par un premier. Utilisant une borne de Rosser et Schoenfeld, nous montrons, en outre, que n doit être divisible par une puissance cinquième >1. Comme corollaire, nous obtenons que RH est vraie ssi chaque entier naturel divisible par une puissance cinquième >1 vérifie l’inégalité de Robin.

Robin’s criterion states that the Riemann Hypothesis (RH) is true if and only if Robin’s inequality σ(n):= d|n d<e γ nloglogn is satisfied for n5041, where γ denotes the Euler(-Mascheroni) constant. We show by elementary methods that if n37 does not satisfy Robin’s criterion it must be even and is neither squarefree nor squarefull. Using a bound of Rosser and Schoenfeld we show, moreover, that n must be divisible by a fifth power >1. As consequence we obtain that RH holds true iff every natural number divisible by a fifth power >1 satisfies Robin’s inequality.

DOI : 10.5802/jtnb.591
Choie, YoungJu 1 ; Lichiardopol, Nicolas 2 ; Moree, Pieter 3 ; Solé, Patrick 4

1 Dept of Mathematics POSTECH Pohang, Korea 790-784
2 ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France
3 Max-Planck-Institut für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Germany
4 CNRS-I3S ESSI Route des Colles 06 903 Sophia Antipolis, France
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[1] T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. | MR | Zbl

[2] K. Briggs, Abundant numbers and the Riemann hypothesis. Experiment. Math. 15 (2006), 251–256. | MR

[3] J. H. Bruinier, Primzahlen, Teilersummen und die Riemannsche Vermutung. Math. Semesterber. 48 (2001), 79–92. | MR | Zbl

[4] S. R. Finch, Mathematical constants. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. | MR | Zbl

[5] J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534–543. | MR | Zbl

[6] J.-L. Nicolas, Petites valeurs de la fonction d’Euler. J. Number Theory 17 (1983), 375–388. | Zbl

[7] S. Ramanujan, Collected Papers. Chelsea, New York, 1962.

[8] S. Ramanujan, Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicolas and G. Robin. Ramanujan J. 1 (1997), 119–153. | MR | Zbl

[9] G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. (9) 63 (1984), 187–213. | MR | Zbl

[10] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 6 (1962), 64–94. | MR | Zbl

[11] G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. | MR | Zbl

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