no. 2
Charles Hermite’s stroll through the Galois Fields
[Les promenades galoisiennes de Charles Hermite]
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 17 (2011) no. 2, pp. 211-270.

Bien que tout semble les opposer, Charles Hermite a joué un rôle important dans l’étude et la diffusion des travaux d’Évariste Galois en France au milieu du XIXe siècle. Cet article étudie les travaux d’Hermite en lien direct avec ceux de Galois, en particulier sur la réduction des équations modulaires. Il montre comment les convictions mathématiques d’Hermite, sur la nécessité de calculs effectifs et sur l’unité de l’algèbre avec l’analyse et l’arithmétique, ont modelé son interprétation de Galois et des pistes ouvertes par celui-ci. Réciproquement, Hermite a inséré les résultats de Galois dans une vaste synthèse appuyée sur la théorie des invariants et les fonctions elliptiques dont la théorie de Galois usuelle a mutilé la mémoire. La fin de l’article revient sur les problèmes méthodologiques ainsi soulevés dans l’interprétation des travaux de Galois et de leur postérité.

Although everything seems to oppose the two mathematicians, Charles Hermite’s role was crucial in the study and diffusion of Évariste Galois’s results in France during the second half of the nineteenth century. The present article examines that part of Hermite’s work explicitly linked to Galois, the reduction of modular equations in particular. It shows how Hermite’s mathematical convictions—concerning effectiveness or the unity of algebra, analysis and arithmetic—shaped his interpretation of Galois and of the paths of development Galois opened. Reciprocally, Hermite inserted Galois’s results in a vast synthesis based on invariant theory and elliptic functions, the memory of which is in great part missing in current Galois theory. At the end of the article, we discuss some methodological issues this raises in the interpretation of Galois’s works and their posterity.

Classification : 01A55, 01A85, 11-03, 11A55, 11F03, 12-03, 13-03, 20-03
Keywords: Charles Hermite, Évariste Galois, continued fractions, quintic, modular equation, history of the theory of equations, arithmetic algebraic analysis, monodromy group, effectivity
Mot clés : Charles Hermite, Évariste Galois, fractions continues, quintique, équation modulaire, histoire de la théorie des équations, analyse algébrique arithmétique, groupe de monodromie, effectivité 
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[Belhoste (1996)] Bruno Belhoste. Autour d’un mémoire inédit: la contribution d’Hermite au développement de la théorie des fonctions elliptiques. Revue d’histoire des mathématiques, 2:1–66, 1996. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Belhoste and Lützen (1984)] Bruno Belhoste and Jesper Lützen. Joseph Liouville et le Collège de France. Revue d’histoire des sciences, 37:255–304, 1984. | MR | Zbl

[Bertrand (1884)] Joseph Bertrand. Éloge de M. Victor Puiseux, lu dans la séance publique annuelle de l’Académie des sciences du 5 mai 1884. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 8:227–234, 1884. | EuDML | JFM | Numdam

[Bertrand (juillet 1899)] Joseph Bertrand. Compte-rendu de La Vie d’Évariste Galois par P. Dupuy,. Journal des savants, pages 389–400, juillet 1899. | JFM

[Boniface (2007)] Jacqueline Boniface. The Concept of Number from Gauss to Kronecker, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 314–342. 2007. | MR

[Boucard (2011)] Jenny Boucard. Louis Poinsot et la théorie de l’ordre: un chaînon manquant entre Gauss et Galois? Revue d’histoire des mathématiques, pages 41–138, 2011. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Brasseur (octobre 2010)] Roland Brasseur. Quelques scientifiques ayant enseigné aux classes préparatoires aux grandes écoles. Bulletin de l’UPS, 232:1–15, octobre 2010.

[Brechenmacher (2007)] Frédéric Brechenmacher. La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker. Revue d’Histoire des Mathématiques, 13:187–257, 2007. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Brechenmacher (2011)] Frédéric Brechenmacher. Self-portraits with Evariste Galois (and the shadow of Camille Jordan). 2011. this issue. | Numdam | MR | Zbl

[Brezinski (1991)] Claude Brezinski. History of Continued Fractions and Padé Approximants. Berlin, New York: Springer, 1991. | DOI | MR | Zbl

[Brill and Noether (1894)] Alexander von Brill and Max Noether. Bericht über die Entwicklung der Theorie der algebraischen Functionen in älterer und neuerer Zeit. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 3:107–565, 1894. | JFM

[Briot and Bouquet (1875)] Charles Briot and Claude Bouquet. Traité des fonctions elliptiques, 2e ed.,. Paris: Gauthier-Villars, 1875. | JFM

[Cahen (1914–1924)] Eugène Cahen. Théorie des nombres, 2 vols., vol. 1: “Le Premier Degré,” 1914; vol. 2: “Le Second Degré binaire,” 1924. Paris: Hermann, 1914–1924. | JFM

[Cauchy, Augustin Louis (Œuvres)] Cauchy, Augustin Louis. Œuvres, Œuvres complètes, 27 vol. en deux séries. Paris: Gauthier-Villars, 1882–1974. | Zbl

[Cayley (1876)] Arthur Cayley. An elementary treatise on elliptic functions. Cambridge: Deighton, Bell; London: Bell, 1876. | JFM | MR | Zbl

[Charve (1877)] Léon Charve. Démonstration de la périodicité des fractions continues, engendrées par les racines d’une équation du deuxième degré. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 1:41–43, 1877. | EuDML | JFM | Numdam

[Charve (1880)] Léon Charve. De la réduction des formes quadratiques ternaires positives et de leur application aux irrationnelles du troisième degré, thèse présentée à la faculté des sciences de Paris. 1880. | EuDML | JFM | Numdam | MR

[Dahan-Dalmedico (1982)] Amy Dahan-Dalmedico. Résolubilité des équations par radicaux et premier mémoire d’Évariste Galois, Présence d’Evariste Galois, no 48. Paris: Publication de l’A.P.M.E.P, 1982. | Zbl

[Darboux (1905)] Gaston Darboux. Notice historique sur Charles Hermite. Paris: Gauthier-Villars, 1905.

[Dupuy (1896)] Paul Dupuy. La vie d’Évariste Galois. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 13:197–266, 1896. | EuDML | JFM | Numdam | MR

[Edwards (1995)] Harold M. Edwards. Kronecker on the Foundations of Mathematics, pages 45–52. Dordrecht: Kluwer, 1995. | MR

[Ehrhardt (2007)] Caroline Ehrhardt. Évariste Galois et la théorie des groupes. Fortunes et réélaborations (1811–1910), Thèse de l’EHESS, 2007. 2007.

[Ehrhardt (2008)] Caroline Ehrhardt. Évariste Galois, un candidat à l’école préparatoire en 1829. Revue d’histoire des mathématiques, 14-2:289–328, 2008. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Ehrhardt (2011)] Caroline Ehrhardt. Évariste Galois, la fabrication d’une icône mathématique. Paris: EHESS, 2011. | MR | Zbl

[Euler (1810)] Leonard Euler. Elements of Algebra, translated from the French, with the Additions of Lagrange, 2nd ed., 2 vols. London: Johnson, 1810. | MR | Zbl

[Fowler (1990)] David Fowler. The Mathematics of Plato’s Academy: a new reconstruction. Oxford: Clarendon Press, 1990. | MR | Zbl

[Galois (1828–1829)] Évariste Galois. Analyse algébrique. Démonstration d’un théorème sur les fractions continues périodiques. Annales de mathématiques pures et appliquée $=$ annales de Gergonne, 19:294–301, 1828–1829. Repr. (with corrections) in [Galois (1846)], 385–392, and in [Galois (1962)], p 365–377. | EuDML | MR

[Galois (1846)] Évariste Galois. Œuvres mathématiques. Journal de mathématiques pures et appliquées, 11:381–444, 1846. | EuDML | Numdam

[Galois (1962)] Évariste Galois. Écrits et mémoires mathématiques, éd. R. Bourgne et J.-P. Azra. Paris: Gauthier-Villars, 1962. | MR | Zbl

[Gierster (1881)] Joseph Gierster. Die Untergruppen der Galois’schen Gruppe der Modulargleichungen fur den Fall eines primzahligen Transformationsgrades. Mathematische Annalen, 18:319–365, 1881. | EuDML | JFM | MR

[Goldstein (1989)] Catherine Goldstein. Le métier des nombres aux xvii,e et xixe siècles, in M. Serres dir. Paris: Bordas, 1989. 274–295; eng transl., A History of Scientific Thought, Oxford: Blackwell, 1995, 344–371. | MR

[Goldstein (2007)] Catherine Goldstein. The Hermitian Form of Reading the Disquisitiones, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 377–410. 2007. | MR

[Goldstein (2011)] Catherine Goldstein. Un arithméticien contre l’arithmétisation: les principes de Charles Hermite, in D. Flament et P. Nabonnand (dir.), Justifier les mathématiques. Paris: MSH, 2011. | Zbl

[Goldstein and Schappacher (2007a)] Catherine Goldstein and Norbert Schappacher. A Book in Search of a Discipline, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 3–65. 2007a. | MR

[Goldstein and Schappacher (2007b)] Catherine Goldstein and Norbert Schappacher. Several Disciplines and a Book, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 66–103. 2007b. | MR

[Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)] Catherine Goldstein, Norbert SchappacherCatherine Goldstein, Norbert Schappacher, and Joachim (eds.) Schwermer. The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae. Berlin: Springer, 2007. | MR | Zbl

[Grattan-Guinness (1990)] Ivor Grattan-Guinness. Convolutions in French Mathematics, 1800–1840, 3 vols. Basel: Birkhäuser, 1990. | MR | Zbl

[Gray (1996)] Jeremy Gray. The Nineteenth-Century Revolution in Mathematical Ontology, pages 226–248. Oxford: Oxford University Press, 1996. | MR | Zbl

[Gray (2000)] Jeremy Gray. Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré, 2nd ed. 2000. | MR | Zbl

[Guntau and Laitko (1987)] Martin Guntau and Hubert Laitko. Entstehung und Wesen wissenschaftlicher Disziplinen, in M. Guntau, H. Laitko (eds.), Der Ursprung der modernen Wissenschaften. Berlin: Akademie-Verlag, 1987.

[Hermite (Œuvres)] Charles Hermite. Œuvres, ed. E. Picard, 4 vol. Paris: Gauthier-Villars, 1905–1917. | JFM | MR

[Hermite (1842)] Charles Hermite. Considération sur la résolution algébrique de l’équation du cinquième degré. Nouvelles annales, 1:329–336, 1842. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 1, 3–9. | EuDML

[Hermite (1848)] Charles Hermite. Sur la division des fonctions abéliennes ou ultra-elliptiques. Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des sciences, 10:563–574, 1848. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 1, 38–48.

[Hermite (1850)] Charles Hermite. Lettres à M. Jacobi sur différents objets de la théorie des nombres. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 40:261–315, 1850. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 1, 100–163. | MR | Zbl

[Hermite (1851)] Charles Hermite. Sur les fonctions algébriques. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 32:458–461, 1851. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 1, 276–280.

[Hermite (1854)] Charles Hermite. Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 9:172–217, 1854. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 1, 296–349. | MR | Zbl

[Hermite (1856)] Charles Hermite. Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52:1–38, 1856. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 350–396. | MR | Zbl

[Hermite (1858a)] Charles Hermite. Sur la résolution de l’équation du cinquième degré. Comptes rendus hebdomadaires des séances des l’Académie des sciences, 46:508–515, 1858a. Rep. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 5–12.

[Hermite (1858b)] Charles Hermite. Sur la résolution de l’équation du quatrième degré. Comptes rendus hebdomadaires des séances des l’Académie des sciences, 46:715–722, 1858b. Rep. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 22–29.

[Hermite (1859)] Charles Hermite. Sur la théorie des équations modulaires. Comptes rendus hebdomadaires des séances des l’Académie des sciences, 48:940–47, 1079–1084, 1096–1102, and 49 (1859), p 16–24, 110–118, 141–144. Rep. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 38–82, 1859.

[Hermite (1863)] Charles Hermite. Sur les fonctions de sept lettres. Comptes rendus hebdomadaires des séances des l’Académie des sciences, 57:750–757, 1863. Rep. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 280–288.

[Hermite (1865)] Charles Hermite. Sur l’équation du cinquième degré. Comptes rendus hebdomadaires des séances des l’Académie des sciences, 61:877–882, 965–972, 1073–1081 and 62 (1866), p 65–72, 157–162, 245–252, 715–722, 919–924, 959–966, 1054–1059, 1161–1167, 1213–1215. Rep. in [Hermite (Œuvres)], vol. 2, 347–424, 1865.

[Hermite (1885)] Charles Hermite. Sur la théorie des fractions continues. Bulletin des sciences mathématiques, 2e:11–13, 1885. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 4, 178–180. | JFM

[Hermite (1901)] Charles Hermite. Sulle frazioni continue. Le matematiche pure ed applicate, I:1–2, 1901. Repr. in [Hermite (Œuvres)], vol. 4, 552–553. | JFM

[Hermite and Genocchi (2003)] Charles Hermite and Angelo Genocchi. Corresp., Le Lettere di Charles Hermite a Angelo Genocchi (1868–1887), ed. G. Michelacci, Quaderni matematici (2a ser.) 546. Trieste: Dipartimento di scienze matematiche, 2003. | MR

[Hermite and Mittag-Leffler (1984)] Charles Hermite and Gösta Mittag-Leffler. Corresp. Lettres de Charles Hermite à Gösta Mittag-Leffler, [ed. P. Dugac]. Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 5:49–285 (letters 1874–1883); 6 (1985), p 79–217 (letters 1884–1891); 10 (1989) 1–82 (letters 1892–1900), 1984. | EuDML | Numdam | Zbl

[Hermite and Stieltjes (1905)] Charles Hermite and Thomas Stieltjes. Corresp., Correspondance d’Hermite et de Stieltjes, ed. B. Baillaud, H. Bourget, 2 vols. Paris: Gauthier-Villars, 1905. | MR

[Houzel (1978)] Christian Houzel. Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes, in J. Dieudonné (dir.), Abrégé d’histoire des mathématiques 1700–1900, 2 vols., vol. 2, pages 1–113. Paris: Hermann, 1978. | Zbl

[Houzel (2003)] Christian Houzel. L’équation générale du cinquième degré, in La Géométrie algébrique. Recherches historiques. Paris: Blanchard, 2003. | MR

[Jacobi (1829)] Carl Gustav Jacob Jacobi. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Berlin: Bornträger, 1829. Repr. in Gesammelte Werke, ed. C. W. Borchardt, vol. 1, Berlin: Reimer, 1881, 49–23. 1829.

[Jordan (1870)] Camille Jordan. Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars, 1870. | MR | Zbl

[Kiernan (1971)] B. Melvin Kiernan. The Development of Galois Theory from Lagrange to Artin. Archive for History of Exact Sciences, 8:40–154, 1971. | MR | Zbl

[Klein (1884)] Felix Klein. Vorlesungen über das Ikosaeder. Leipzig: Teubner, 1884. | JFM | Zbl

[Kronecker (1853)] Leopold Kronecker. Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pages 365–374, 1853. Repr. in Werke, ed. K. Hensel, Leipzig, vol. IV, 1–13, Berlin: Teubner, 1929.

[Lagrange (1867–1892)] Joseph Louis Lagrange. Œuvres, ed. J.-A. Serret, 14 vols. Paris: Gauthier-Villars, 1867–1892.

[Lebesgue (1831)] Victor-Amédée Lebesgue. Note sur les fractions continues périodiques. Bulletin des sciences mathématiques, physiques et chimiques, 15:155–158, 1831.

[Lebesgue (1840)] Victor-Amédée Lebesgue. Résolution de l’équation du second degré à une inconnue par les fractions continues. Journal de mathématiques pures et appliquées, 5:281–310, 1840. | EuDML | Numdam

[Legendre (1798 (an VI))] Adrien-Marie Legendre. Essai sur la théorie des nombres. 1798 (an VI). | EuDML | MR | Zbl

[Mammone (1989)] Pasquale Mammone. Sur l’apport d’Enrico Betti en théorie de Galois. Bollettino di storia delle scienze matematiche, 9 (2):143–169, 1989. | MR | Zbl

[McKean and Moll (1999)] Henry Mckean and Victor Moll. Elliptic Curves. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. | MR | Zbl

[Möbius (1830)] Augustus Möbius. Beiträge zu der Lehre von den Kettenbrüchen, nebst einem Anhange dioptrischen Inhalts. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 5:215–243, 1830. | EuDML | MR | Zbl

[Neumann (1996)] Olaf Neumann. Die Entwicklung der Galois-Theorie zwischen Arithmetik und Topologie (1850 bis 1960). Archive for History of Exact Sciences, 50:291–329, 1996. | MR | Zbl

[Neumann (2007)] Olaf Neumann. The Disquisitiones arithmeticae and the Theory of Equations, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 107–127. 2007. | MR

[Perron (1929)] Oskar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2nd ed. Stuttgart: Teubner, 1929. | JFM | MR | Zbl

[Petri and Schappacher (2007)] Birgit Petri and Norbert Schappacher. On Arithmetization, in [Goldstein, Schappacher & Schwermer (2007)], pages 343–374. 2007. | MR

[Pierpont (1895)] James Pierpont. Zur Geschichte der Gleichung des V. Grades (bis 1858). Monatshefte für Mathematik und Physik, 6:15–68, 1895. | JFM | MR

[Pringhseim (1898)] Alfred Pringhseim. Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse, pages 47–146. Leipzig: Teubner, 1898. | JFM

[Puiseux (1850)] Victor Puiseux. Recherches sur les fonctions algébriques. Journal de mathématiques pures et appliquées, 15:365–480, 1850. | EuDML | Numdam

[Puiseux (1851)] Victor Puiseux. Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques. Journal de mathématiques pures et appliquées, 16:228–240, 1851. | EuDML | Numdam

[Ramus (1839)] Christian Ramus. Remarques sur les fractions continues périodiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 20:13–27, 1839. | EuDML | MR | Zbl

[Serret (1885)] Joseph-Alfred Serret. Cours d’algèbre supérieure. Paris: Bachelier, 1849; 2nd ed., Paris: Mallet-Bachelier, 1854; Paris: Gauthier-Villars, 2 vol., 3rd ed., 1866, 4th ed., 1877; 5th ed., 1885, 6th ed., 1910; 7th ed., 1928. All quotes are from the 5th ed., 1885. | EuDML | JFM

[Serfati (1992)] Michel Serfati. Quadrature du cercle, fractions continues, et autres contes. Sur l’histoire des nombres irrationnels et transcendants aux xviii,e et xixe siècles. Paris: Éditions de l’Association des Professeurs de Mathématiques, 1992.

[Stern (1832)] Moritz Stern. Observationes in fractiones continuas. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 8:192–193, 1832. | EuDML | MR | Zbl

[Terquem (1849)] Olry Terquem. Biographie. Richard, professeur. Nouvelles Annales de Mathématiques, 8:448–452, 1849.

[Waldschmidt (1983)] Michel Waldschmidt. Les débuts de la théorie des nombres transcendants (à l’occasion du centenaire de la transcendance de $\pi $). Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 4:93–115, 1983. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[Weber (1891)] Heinrich Weber. Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen. Braunschweig: Vieweg, 1891. | JFM

[Wussing (1969)] Hans Wussing. Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1969. | MR | Zbl