On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier si toute extension modérée abélienne finie de degré admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier . Il est bien connu que est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en . On trouve par exemple que est de Hilbert-Speiser en si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en et on donne également une condition quand le corps est réel.
A number field is called a Hilbert-Speiser field for a prime number if each tamely ramified finite abelian extension of degree admits a normal integral basis. A number field is called a Hilbert-Speiser field if it’s Hilbert-Speiser for all primes . It’s well known that is such a field. In an article [3] written in 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav showed that is the only Hilbert-Speiser field. We give here a necessary and sufficient condition for a field to be Hilbert-Speiser for . For example is a Hilbert-Speiser field for if and only if its class number is one. Then generalizing works of Conrad and Replogle [1] we obtain prime numbers for which an imaginary abelian field is a Hilbert-Speiser field for , and we also give a criterion for real abelian fields.
@article{JTNB_2005__17_3_767_0,
author = {Herreng, Thomas},
title = {Sur les corps de {Hilbert-Speiser}},
journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
pages = {767--778},
year = {2005},
publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
volume = {17},
number = {3},
doi = {10.5802/jtnb.519},
zbl = {05016586},
mrnumber = {2212124},
language = {fr},
url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.519/}
}
TY - JOUR AU - Herreng, Thomas TI - Sur les corps de Hilbert-Speiser JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2005 SP - 767 EP - 778 VL - 17 IS - 3 PB - Université Bordeaux 1 UR - https://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.519/ DO - 10.5802/jtnb.519 LA - fr ID - JTNB_2005__17_3_767_0 ER -
Herreng, Thomas. Sur les corps de Hilbert-Speiser. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 767-778. doi: 10.5802/jtnb.519
[1] M. Conrad, D. R. Replogle, Nontrivial Galois Module Structure of cycloyomic Fields. Mathematic of computation 72 (2003), no. 242, 891–899. | Zbl | MR
[2] A. Fröhlich, M. J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 1991. | Zbl
[3] C. Greither, D. R. Replogle, K. Rubin, A. Srivastav, Swan Modules and Hilbert-Speiser number fields. J. of Number theory 79 (1999), 164–173. | Zbl | MR
[4] L. R. McCulloh, A Stickelberger condition on Galois module structure for Kummer extensions of prime degree. Dans Algebraic Number Fields Proceedings of the Durham Symposium 1975, Academic press, London, 1977. | Zbl | MR
[5] H. B. Mann, On integral Basis. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 119–149. | Zbl | MR
[6] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields. Springer-Verlag, New-York, 1982. | Zbl | MR
Cité par Sources :
