Obstructions aux déformations de représentations galoisiennes réductibles et groupes de classes
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 2, pp. 607-618.

Nous développons une nouvelle stratégie pour comprendre la nature des obstructions aux déformations d’une représentation galoisienne globale ρ ¯ réductible, impaire de dimension 2. Ces obstructions s’interprètent en termes de groupe de Šafarevič. D’après [BöMé], elles sont reliées à des conjecture arithmétiques classiques (Conjecture de Vandiver, conjecture de Greenberg). Dans cet article, nous introduisons un autre groupe de Šafarevič associé au corps L fixe par kerρ ¯. Nous comparons les deux groupes en prenant les co-invaraints par Imρ ¯. Cette stratégie conduit à de nouvelles conditions d’annulation des obstructions en termes de groupes des classes de L.

In this paper, we develop a new strategy to understand the obstructions to deformations of reducible odd 2-dimensional global Galois representations ρ ¯. It is known that these obstructions are localized in a Šafarevič group. After [BöMé] these obstructions are related with several classical conjectures (Vandiver’s conjecture, Greenberg’s conjecture). The idea of this note is to introduce another Šafarevič group depending on the field L fixed by kerρ ¯. We then compare the two groups by taking the co-invariant by Imρ ¯. This strategy yields new conditions for the vanishing of the obstructions in terms of class groups of L.

DOI : 10.5802/jtnb.510
Mots clés : Anneau de déformation versel, groupe de classes, groupe de Šafarevič.
Mézard, Ariane 1

1 Laboratoire de mathématiques, UMR 8628 Université de Paris-Sud XI 91405 Orsay Cedex, France
@article{JTNB_2005__17_2_607_0,
     author = {M\'ezard, Ariane},
     title = {Obstructions aux d\'eformations de repr\'esentations galoisiennes r\'eductibles et groupes de classes},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {607--618},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {17},
     number = {2},
     year = {2005},
     doi = {10.5802/jtnb.510},
     zbl = {1176.11055},
     mrnumber = {2211310},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.510/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mézard, Ariane
TI  - Obstructions aux déformations de représentations galoisiennes réductibles et groupes de classes
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2005
SP  - 607
EP  - 618
VL  - 17
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux 1
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.510/
DO  - 10.5802/jtnb.510
LA  - fr
ID  - JTNB_2005__17_2_607_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mézard, Ariane
%T Obstructions aux déformations de représentations galoisiennes réductibles et groupes de classes
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2005
%P 607-618
%V 17
%N 2
%I Université Bordeaux 1
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.510/
%R 10.5802/jtnb.510
%G fr
%F JTNB_2005__17_2_607_0
Mézard, Ariane. Obstructions aux déformations de représentations galoisiennes réductibles et groupes de classes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 2, pp. 607-618. doi : 10.5802/jtnb.510. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.510/

[BöMé] G. Böckle, A. Mézard, The prime-to-adjoint principle and unobstructed Galois deformations in the Borel case. J. Number Theory 78 (1999), 167–203. | MR | Zbl

[BoUl] N. Boston, S.V. Ullom, Representations related to CM elliptic curves. Math. Proc. Phil. Soc. 113 (1993), 71–85. | MR | Zbl

[Ko] H. Koch, Galoische Theorie der p-Erweiterung. Mathematische Monographien. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 10, 1970. | Zbl

[Ma] B. Mazur, Deforming Galois representations. Dans Galois groups over , Y. Ihara, K. Ribet, J.-P. Serre eds, MSRI Publ. 16, (1987), 385–437. | MR | Zbl

[Se] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne. Lecture Notes in Math. 5, 1973. | MR | Zbl

[So] C. Soulé, Perfect forms and the Vandiver conjecture. J. Reine Angew. Math. 517 (1999), 209–221. | MR | Zbl

[Ta] J.T. Tate, Global class field theory. Dans Algebraic number theory. J. Cassels A. Fröhlich eds, Academic Press 1967, 163–203. | MR | Zbl

[We] C. Weibel, An introduction to homological algebra. Cambridge University press 1994. | MR | Zbl

Cité par Sources :