Nombres de Bell et somme de factorielles
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 1-17.

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, p, la somme n=0 p-1 n! n’est pas divisible par p. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du n-ième nombre de Bell modulo p comme la trace de la puissance n-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré p du corps premier à p éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime number p, the sum n=0 p-1 n! is not divisible by p. This sum is related to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for the n-th Bell number modulo p as the trace of the n-th power of a fixed element in the Artin-Schreier extension of degree p of the field with p elements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

DOI : 10.5802/jtnb.432
Barsky, Daniel 1 ; Benzaghou, Bénali 2

1 Université Paris 13 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n ∘ 742 Av J.-B. Clément F-93430 VILLETANEUSE, France
2 USTHB Faculté de Mathématiques El Alia BP 32 Bab Ezzouar 1611 ALGER, Algérie
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Barsky, Daniel; Benzaghou, Bénali. Nombres de Bell et somme de factorielles. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 1-17. doi : 10.5802/jtnb.432. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.432/

[1] D. Barsky, Analyse p-adique et nombres de Bell. C. R. Acad Sc. Paris série A, 282 (1976), 1257–1259 & Groupe d’Étude d’Analyse Ultramétrique. (Y. Amice, Ph. Robba), 3-ième année, 1975/76, exposé n 11. | Numdam | MR | Zbl

[2] D. Barsky & B. Benzaghou, Congruences pour les nombres de Bell, préprint, (1992).

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[6] A. Junod, A Generalized Trace Formula for Bell Numbers. A paraître dans Expositiones Mathematicae. | Zbl

[7] Dj. Kurepa, On the left factorial function !n. Math. Balkanica vol. 1 (1971), 147–153. | MR | Zbl

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Cité par Sources :