Fundamental domains for Shimura curves

Kohel, David R.; Verrill, Helena A.

Kohel, David R. ; Verrill, Helena A.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222.

Résumé
Abstract

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura $X_{0}^{D} (N)$ associée à un ordre d’une algèbre de quaternions $A / ℚ$ . Un domaine fondamental pour $X_{0}^{D} (N)$ réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes $X_{0}^{6} (1), X_{0}^{15} (1)$ et $X_{0}^{35} (1)$ . Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane $ℋ$ of a Shimura curve $X_{0}^{D} (N)$ associated with an order in a quaternion algebra $A / 𝐐$ . A fundamental domain for $X_{0}^{D} (N)$ realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves $X_{0}^{6} (1), X_{0}^{15} (1), and X_{0}^{35} (1)$ . The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

MR Zbl | 1 citation dans Numdam

@article{JTNB_2003__15_1_205_0,
     author = {Kohel, David R. and Verrill, Helena A.},
     title = {Fundamental domains for {Shimura} curves},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {205--222},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {15},
     number = {1},
     year = {2003},
     mrnumber = {2019012},
     zbl = {1044.11052},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Kohel, David R.
AU  - Verrill, Helena A.
TI  - Fundamental domains for Shimura curves
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2003
SP  - 205
EP  - 222
VL  - 15
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/
LA  - en
ID  - JTNB_2003__15_1_205_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Kohel, David R.
%A Verrill, Helena A.
%T Fundamental domains for Shimura curves
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2003
%P 205-222
%V 15
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/
%G en
%F JTNB_2003__15_1_205_0

Kohel, David R.; Verrill, Helena A. Fundamental domains for Shimura curves. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222. http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Alsina, Aritmetica d'ordres quaternionics i uniformitzacio hiperbolica de corbes de Shimura. PhD Thesis, Universitat de Barcelona 2000, Publicacions Universitat de Barcelona, ISBN: 84-475-2491-4, 2001.

[2] W. BOSMA, J. CANNON, eds. The Magma Handbook. The University of Sydney, 2002. http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/MAGMA.htm.

[3] J. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. | MR | Zbl

[4] N. Elkies, Shimura Curve Computations. Algorithmic Number Theory, LNCS 1423, J. Buhler, ed, Springer (1998), 1-47. | MR | Zbl

[5] D. Kohel, Endomorphism rings of elliptic curves over finite fields. Thesis, University of California, Berkeley, 1996.

[6] D. Kohel, Hecke module structure of quaternions. Class field theory-its centenary and prospect (Tokyo, 1998), K. Miyake, ed, Adv. Stud. Pure Math., 30, Math. Soc. Japan, Tokyo (2001), 177-195. | MR | Zbl

[7] D. Kohel, Brandt modules. Chapter in The Magma Handbook, Volume 7, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 343-354.

[8] D. Kohel, Quaternion Algebras. Chapter in The Magma Handbook, Volume 6, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 237-256.

[9] A. Kurihara, On some examples of equations defining Shimura curves and the Mumford uniformization. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 25 (1979), 277-301. | MR | Zbl

[10] J.-F. Michon, Courbes de Shimura hyperelliptiques. Bull. Soc. Math. France 109 (1981), no. 2, 217-225. | Numdam | MR | Zbl

[11] D. Roberts, Shimura curves analogous to X0(N). Ph.D. thesis, Harvard, 1989.

[12] H. Verrill, Subgroups of PSL2(R), Chapter in The Magma Handbook, Volume 2, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 233-254.

[13] M.-F. Vignéras, Arithmétiques des Algèbres de Quaternions, LNM 800, Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl