Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension

Ducros, Antoine

doi:10.24033/bsmf.2452

Ducros, Antoine

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 483-506.

Résumé
Abstract

Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich. Soit $k$ un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit $𝔛$ un schéma formel au-dessus de la boule unité $k^{0}$ de $k$ . Si $𝔛$ est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables » ) alors sa fibre générique $𝔛_{η}$ se rétracte sur l’un de ses sous-ensembles fermés noté $S (𝔛)$ (c’est le squelette de $𝔛$ ) qui possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si $𝔜 \to 𝔛$ est un morphisme étale entre deux schémas formels pluristables alors $S (𝔜)$ est l’image réciproque de $S (𝔛)$ , et $S (𝔜) \to S (𝔛)$ est linéaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que si $𝔛$ est pluristable purement de dimension $n$ et si $φ$ est un morphisme quelconque d’un espace strictement $k$ -analytique topologiquement séparé de dimension $\leq n$ vers $𝔛_{η}$ alors $φ^{- 1} (S (𝔛))$ possède une unique structure linéaire par morceaux telle que $φ$ soit linéaire par morceaux.

This article deals with Berkovich analytic spaces. Let $k$ be a complete field with respect to an ultrametric absolute value and let $𝔛$ be a formal scheme over the unit ball $k^{0}$ of $k$ . If $𝔛$ is pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad » ) then its generic fibre $𝔛_{η}$ admits a retraction toward a closed subset $S (𝔛)$ (the skeleton of $𝔛$ ) which carries a natural structure of piecewise-linear space. If $𝔜 \to 𝔛$ is an étale morphism between two pluri-stable formal schemes then $S (𝔜)$ is exactly the pre-image of $S (𝔛)$ , and $S (𝔜) \to S (𝔛)$ is piecewise-linear. Here we show that if $𝔛$ is pluri-stable of pure dimension $n$ and if $φ$ is any morphism from an Hausdorff strictly $k$ -analytic space of dimension $\leq n$ to $𝔛_{η}$ then $φ^{- 1} (S (𝔛))$ carries a unique piecewise-linear structure such that $φ$ is piecewise-linear.

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DOI : 10.24033/bsmf.2452

Classification : 14G22
Mot clés : espaces de Berkovich, structures linéaires par morceaux
Keywords: Berkovich spaces, piecewise-linear structures

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Ducros, Antoine. Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 483-506. doi : 10.24033/bsmf.2452. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2452/

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