Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de p
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126.

Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier θ>1 et toute f de L 1 (𝕋), où 𝕋=/, les moyennes

1 N 1 N f ( θ n x ) convergent vers 𝕋 f ( t ) d t

pour presque tout point x de . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique θ>1 et toute f de L 2 (𝕋). Dans cet article nous prouvons que, si ϕ est un endomorphisme de  p algébrique sur , dont les valeurs propres sont toutes de module >1, alors pour toute f de L 2 (𝕋 p ), les moyennes (1/N) 1 N f(ϕ n x) convergent vers 𝕋 p f(t)dt pour presque tout point x de p . Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.

The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ>1 and any f of L 1 (𝕋), where 𝕋=/, the averages

1 N 1 N f ( θ n x ) converge to 𝕋 f ( t ) d t

for almost every point x of . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number θ>1 and any f of L 2 (𝕋). In this paper we prove that, for any endomorphism ϕ of  p algebraic on , whose proper values all have modulus >1, for any f of L 2 (𝕋 p ), the averages 1/N 1 N f(ϕ n x) converge to 𝕋 p f(t)dt for almost every point x of p . We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

DOI : 10.5802/aif.2252
Classification : 47A35, 11D61, 42B05
Mot clés : Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multiplicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inégalités maximales
Keywords: Riesz-Raikov Theorem, Hopf maximal ergodic theorem, zero multiplicity of linear recurrence sequences, almost orthogonality, Fourier series and maximal inequalities
Lootgieter, Jean-Claude 1

1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)
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Lootgieter, Jean-Claude. Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126. doi : 10.5802/aif.2252. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2252/

[1] Bourgain, J. The Riesz-Raikov theorem for algebraic numbers, Israël Mathematical Conference Proceedings, Volume 3, Weizmann, 1990, pp. 1-45 | MR | Zbl

[2] Garsia, A. Topics in almost everywhere convergence, Lectures in Advanced Math., Volume 4, Markham Publ. Co., 1970 | MR | Zbl

[3] Jessen, B. On the approximation of ebesgue integrals by Riemann sums, Annals of Math., Volume 35 (1934), pp. 248-251 | DOI | MR | Zbl

[4] Lech, C. A note on recurring series, Ark. Mat., Band 2, Volume 22 (1952), pp. 417-421 | MR | Zbl

[5] Raikov, M. On some arimetical properties of summable functions, Math. Sbornik (NS), Volume 1 (1936), pp. 377-383 | Zbl

[6] Riesz, M. Sur la théorie ergodique, Comm. Math. Helv., Volume 17 (1945), pp. 22-239 | MR | Zbl

[7] Schlickewei, H. P. Multiplicities of recurrence sequences, Acta Math., Volume 176 (1996), pp. 171-243 | DOI | MR | Zbl

[8] Schmidt, W. M. The zero multiplicity of linear recurrence sequences, Acta Math., Volume 182 (1999), pp. 243-282 | DOI | MR | Zbl

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