Zeros of Fekete polynomials

Conrey, Brian; Granville, Andrew; Poonen, Bjorn; Soundararajan, K.

doi:10.5802/aif.1776

Conrey, Brian ; Granville, Andrew ; Poonen, Bjorn ; Soundararajan, K.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 3, pp. 865-889

Abstract (VO)
Résumé

For $p$ an odd prime, we show that the Fekete polynomial $f_{p} (t) = \sum_{a = 0}^{p - 1} (\frac{a}{p}) t^{a}$ has $\sim κ_{0} p$ zeros on the unit circle, where $0.500813 > κ_{0} > 0.500668$ . Here $κ_{0} - 1 / 2$ is the probability that the function $1 / x + 1 / (1 - x) + \sum_{n \in ℤ : n \neq 0, 1} δ_{n} / (x - n)$ has a zero in $] 0, 1 [$ , where each $δ_{n}$ is $\pm 1$ with y $1 / 2$ . In fact $f_{p} (t)$ has absolute value $\sqrt{p}$ at each primitive $p$ th root of unity, and we show that if $| f_{p} (e (2 i π (K + τ) / p)) | < ϵ \sqrt{p}$ for some $τ \in] 0, 1 [$ then there is a zero of $f$ close to this arc.

Si $p$ est un nombre premier, nous démontrons que le polynôme de Fekete $f_{p} (t) = \sum_{a = 0}^{p - 1} (\frac{a}{p}) t^{a}$ a $\sim κ_{0} p$ zéros sur le cercle ${| z | = 1}$ , où $0.500813 > κ_{0} > 0.500668$ . Ici $κ_{0} - 1 / 2$ est la probabilité que la fonction $1 / x + 1 / (1 - x) + \sum_{n \in ℤ : n \neq 0, 1} δ_{n} / (x - n)$ a un zéro dans $] 0, 1 [$ , où chaque $δ_{n}$ est $\pm 1$ avec probabilité $1 / 2$ . En fait la valeur absolue de $f_{p} (t)$ est $\sqrt{p}$ à chaque racine primitive $p$ -ème de l’unité, et nous démontrons que si $| f_{p} (e (2 i π (K + τ) / p)) | < ϵ \sqrt{p}$ avec $τ \in] 0, 1 [$ , alors il y a un zéro de $f$ près de cet arc.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1776

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Conrey, Brian; Granville, Andrew; Poonen, Bjorn; Soundararajan, K. Zeros of Fekete polynomials. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 3, pp. 865-889. doi: 10.5802/aif.1776

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