Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Noot, Rutger

doi:10.5802/aif.1494

Noot, Rutger

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1239-1248

Résumé (VO)
Abstract

Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $ℓ$ tel que $v (ℓ) = 0$ , soit $F_{ℓ} \in G (Q_{ℓ})$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $ℓ$ -adique de $X$ . On montre que si $X$ a une bonne réduction ordinaire en $v$ , alors il existe $F \in G (Q)$ tel que, pour tout $ℓ$ , $F_{ℓ}$ soit conjugué à $F$ dans $G (Q_{ℓ})$ . On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$ .

Let $X$ be an abelian variety over a number field $E$ and let $G$ be its Mumford–Tate group. Let $v$ be a valuation of $E$ and for each prime number $ℓ$ with $v (ℓ) = 0$ , let $F_{ℓ} \in G (Q_{ℓ})$ be the (geometric) Frobenius automorphism of the $ℓ$ -adic étale cohomology of $X$ . It is shown that if $X$ has good and ordinary reduction at $v$ , then there is an element $F \in G (Q)$ such that, for each $ℓ$ , $F_{ℓ}$ is conjugate to $F$ inside $G (Q_{ℓ})$ . We prove a similar result for the frobenius on the crystalline cohomology of the reduction of $X$ modulo $v$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1494

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Noot, Rutger. Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1239-1248. doi: 10.5802/aif.1494

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