Schwartz, Laurent
Processus de Markov et désintégrations régulières
Annales de l'institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3 , p. 211-277
Zbl 0356.60016 | MR 58 #7871 | 2 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.668
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Un théorème classique exprime qu’à partir d’un semi-groupe (P t ) t0 d’opérateurs sur l’espace des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini, P s+t =P t , P s 0, P t l=1, tP t f continue, P 0 =I, on peut construire un processus markovien “standard”, à trajectoires réglées et continues à droite, quasi-continu à gauche ; l’espace des états E est supposé localement compact à base dénombrable d’ouverts. Nous supposons ici que l’espace des états est seulement universellement mesurable dans un souslinien complètement régulier ; le processus n’est plus homogène dans le temps, on a donc une famille d’opérateurs P s,t , st, avec P r,s P s,t =P r,t pour rst. Les hypothèses doivent donc être un peu modifiées, il n’existe plus ici de fonctions continues tendant vers 0 à l’infini; les probabilités de transition P(x,t;x) jouent ici le rôle fondamental. En outre, les temps d’arrêt n’interviennent pratiquement pas ; ce sont les désintégrations régulières qui les remplacent. À titre d’application, on peut considérer les marches aléatoires à temps continu dans un Banach, dont les mouvements browniens sont des cas particuliers.
Starting with a semi-group of operators (P t ) t0 on the space of continuous functions vanishing at infinity, P s+t =P t , P s 0, P t l=1, tP t f continuous, P 0 =I, one can classically define a “standard” Markov process, with ruled, right continuous paths, and left quasi-continuous; the fundamental space E has to be locally compact with a countable basis. We assume here that E is only a universally measurable subspace of a completely regular Suslin space ; the process is no longer time homogeneous, therefore we have a family (P s,t ) st of operators with P r+s P s,t =P r,t for rst. The hypotheses have to be slightly modified because continuous functions vanishing at infinity don’t longer exist; the transition probabilities P(s,t;x) play a fundamental role. Moreover, stopping time practically don’t occur the regular desintegrations replace them. As applications: stochastic walkings with continuous times in a Banach space; among them the brownian motions are particular cases.

Bibliographie

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