Schwartz, Laurent
Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II
Annales de l'institut Fourier, Tome 8 (1958) , p. 1-209
Zbl 0089.09801 | MR 22 #8322 | 20 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.77
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Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel LM ; on note ces topologies par L λ M, où λ est l’une des 5 lettres τ,γ,β,π,ε. Soient alors L,M,U,V, 4 espaces vectoriels quasi-complets. Pour ξL ^ λ U, ηM ^ ε V, on peut définir “un produit croisé” Γ μ,λ (ξ,η)(L ^ μ M) ^ ε (U ^ λ V), dont on étudie systématiquement les propriétés. Plus généralement si ϕ,χ,ψ,ω, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour ξL ^ ϕ U, ηM ^ χ V, un produit croisé appartenant à (L ^ ψ M) ^ ε (U ω V). Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles. Soient E,F,G, 3 espaces de Banach, et soit B une application bilinéaire continue de E×F dans G. Soient d’autre part ,𝒦,, 3 espaces de distributions, et soit U une application bilinéaire hypocontinue (S·T)ST de × dans (par exemple le produit scalaire S·T si 𝒦= , = corps des scalaires ; le produit multiplicatif si =𝒮 , 𝒦=𝒪 M =𝒮  ; le produit de convolution si =𝒮 , 𝒦=𝒪 c =𝒮. Alors, si l’espace est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé S B T (G), pour 𝒮 (E), T (F) ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.

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Schwartz-Dieudonné. Voir Dieudonné-Schwartz.