Schwartz, Laurent
Les équations d'évolution liées au produit de composition
Annales de l'institut Fourier, Tome 2 (1950) , p. 19-49
Zbl 0042.33103 | MR 13,242b | 4 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.18
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__19_0

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme tU(x,t)+ |p|m A p (x,t)D x p U(x,t)=B(x,t). Lorsque les coefficients A ne dépendent que de t, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit : d dtU x (t)+A x (t) (x) * U x (t)=B x (t). La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout t sur la variable spatiale x seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour t=0 n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante R x (t,τ) et la solution d’un problème de Cauchy est donné par U x (t)=R x (t,t 0 ) (x) * U x (t 0 )+ t 0 t (R x (t,τ) (x) * B x (τ))dτ. Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.