Dieudonné, Jean; Schwartz, Laurent
La dualité dans les espaces () et ()
Annales de l'institut Fourier, Tome 1 (1949) , p. 61-101
Zbl 0035.35501 | MR 12,417d | 31 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.8
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L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces (), qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces () qui s’obtiennent à partir des espaces () par un processus de “limite inductive” : un tel espace est réunion d’une suite croissante (F n ) d’espaces (), muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des F n sa topologie propre. Pour un tel espace E, on définit son dual E comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires x continues dans E, et on pose x,x =x (x) pour xE, x E . Pour développer la théorie de la dualité, on munit E d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble B dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de 0 contient un homothétique de B (dans un rapport >0 assez petit), la topologie forte sur E est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de E. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces E et E  : appelons polaire d’un ensemble AE (resp. A E ) l’ensemble A 0 E (resp. A 0 E) formé des x E (resp. xE) tels que |x,x |1 pour tout xA (resp. tout x A ) ; alors les polaires des ensembles bornés dans E (resp. E ) sont les voisinages de 0 dans E (resp. E) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace () ou () soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces () ou () ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

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