Étienne Bézout : analyse algébrique au siècle des lumières
[Étienne Bézout: algebraic analysis at the age of enlightenment]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 14 (2008) no. 2, pp. 211-287.

The topic of this paper is, on the one hand to introduce algebraic analysis results of Étienne Bézout (1730-1783) not as we know them today but as he found them in his time, and on the other hand to emphasize his innovating viewpoints. We will be concerned with Bezout special way of reducing elimination for any degree systems to finding conditions for linear systems solutions, with his typical use of indeterminate coefficients that he doesn't compute but looks only for existence and number, with his idea to work on set of polynomials products sums, and with a very personal method to found two equations resultant.

Le but de cet article, à travers l'étude des travaux en analyse algébrique finie d'Étienne Bézout (1730-1783), est de mieux faire connaître ses résultats, tels qu'il les a effectivement trouvés, et de mettre en valeur aussi bien les points de vue novateurs que les méthodes originales, mis en œuvre à cet effet. L'idée de ramener le problème de l'élimination d'une ou plusieurs inconnues à l'étude d'un système d'équations du premier degré, son utilisation inhabituelle des coefficients indéterminés qu'il ne calcule pas mais dont seuls l'existence et le nombre l'intéressent, une façon très personnelle de trouver la résultante de deux équations et enfin l'idée d'étudier, dans leur ensemble, les sommes de produits de polynômes, font partie des approches et des démarches de Bézout que nous nous proposons d'exposer dans cette étude.

Classification: 01A50,  12D05,  1403,  15A15
Keywords: algebraic analysis, algebraic equations, algebraic geometry, bezoutiant, elimination, determinant, indeterminate coefficients, linearity, Bézout, Cramer, Euler, Sylvester
@article{RHM_2008__14_2_211_0,
     author = {Alfonsi, Liliane},
     title = {\'Etienne {B\'ezout} : analyse alg\'ebrique au si\`ecle des lumi\`eres},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     pages = {211--287},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {14},
     number = {2},
     year = {2008},
     zbl = {1178.01014},
     mrnumber = {2537663},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/RHM_2008__14_2_211_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Alfonsi, Liliane
TI  - Étienne Bézout : analyse algébrique au siècle des lumières
JO  - Revue d'histoire des mathématiques
PY  - 2008
DA  - 2008///
SP  - 211
EP  - 287
VL  - 14
IS  - 2
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/RHM_2008__14_2_211_0/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1178.01014
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2537663
LA  - fr
ID  - RHM_2008__14_2_211_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Alfonsi, Liliane
%T Étienne Bézout : analyse algébrique au siècle des lumières
%J Revue d'histoire des mathématiques
%D 2008
%P 211-287
%V 14
%N 2
%I Société mathématique de France
%G fr
%F RHM_2008__14_2_211_0
Alfonsi, Liliane. Étienne Bézout : analyse algébrique au siècle des lumières. Revue d'histoire des mathématiques, Volume 14 (2008) no. 2, pp. 211-287. http://www.numdam.org/item/RHM_2008__14_2_211_0/

[Alembert 1748] Alembert (Jean Le Rond D') - Recherches sur le calcul intégral, Histoire de l'Académie des sciences et belles-lettres de Berlin, (1746), 1748, p. 128-224.

[Alfonsi 2005] Alfonsi (Liliane) - Étienne Bézout (1730-1783) : mathématicien, académicien et professeur au siècle des Lumières, Thèse, Université Paris 6, 2005. | Zbl

[Alfonsi 2006] Alfonsi (Liliane) - Algebraic analysis and the use of indeterminate coefficients by Étienne Bézout (1730-1783), Bulletin de la société mathématique de Belgique, 13(5) (2006), p. 933-936. | MR | Zbl

[Apéry & Jouanolou 2006] Apéry (François) & Jouanolou (Jean-Pierre) - Élimination - Le cas d'une variable, Paris : Hermann, 2006.

[Bézout 1760] Bézout (Étienne) - Sur les quantités différencielles qui n'étant point intégrables par elles-mêmes, le deviennent néanmoins quant on leur joint des quantités de même forme qu'elles, Mémoires des savans étrangers, 3 (1757), 1760, p. 326-343.

[Bézout 1763] Bézout (Étienne) - Sur les courbes dont la rectification dépend d'une quantité donnée, MARS, (1758), 1763, p. 65-80.

[Bézout 1764a] Bézout (Étienne) - Sur plusieurs classes d'équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique, MARS, (1762), 1764, p. 17-52.

[Bézout 1764b] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. I, Paris, 1764.

[Bézout 1765] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. II, Paris, 1765.

[Bézout 1766] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. III, Paris, 1766.

[Bézout 1767a] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. IV, Paris, 1767.

[Bézout 1767b] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. V, Paris, 1767.

[Bézout 1767c] Bézout (Étienne) - Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues et sur les moyens qu'on doit employer pour trouver ces équations, MARS, (1764), 1767, p. 288-338.

[Bézout 1768] Bézout (Étienne) - Sur la résolution générale des équations de tous les degrés, MARS, (1765), 1768, p. 533-552.

[Bézout 1769] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage des gardes du Pavillon et de la Marine, t. VI, Paris, 1769.

[Bézout 1770a] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage du Corps royal d'Artillerie, t. I, Paris, 1770.

[Bézout 1770b] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage du Corps royal d'Artillerie, t. II, Paris, 1770.

[Bézout 1772a] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage du Corps royal d'Artillerie, t. III, Paris, 1772.

[Bézout 1772b] Bézout (Étienne) - Cours de mathématiques à l'usage du Corps royal d'Artillerie, t. IV, Paris, 1772.

[Bézout 1779] Bézout (Étienne) - Théorie générale des équations algébriques, Paris, 1779.

[Bouligand 1948] Bouligand (Georges) - À une étape décisive de l'algèbre : L'œuvre scientifique et didactique d'Étienne Bézout, Revue générale des sciences pures et appliquées, 55 (1948), p. 121-123. | Zbl

[Bourbaki 1952] Bourbaki (Nicolas) - Modules sur les anneaux principaux, Éléments de mathématique, Livre II Algèbre, chap. VII, Paris : Hermann, 1952. | Zbl

[Cajori 1928] Cajori (Florian) - A history of mathematical notations, vol.1, La Salle, 1928 ; réimp. Dover, 1993. | Zbl

[Condorcet 1786] Condorcet (Jean-Antoine-Nicolas Caritat, Marquis De) - Éloge de M. Bézout [lu le 13 novembre 1784], HARS, (1783), 1786, p. 69-75.

[Cramer 1750] Cramer (Gabriel) - Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève, 1750.

[Dedekind 1877] Dedekind (Richard) - Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, 1877 ; trad. angl. : Theory of algebraic integers, Cambridge, 1896. | JFM | Zbl

[Descartes 1637] Descartes (René) - La Géométrie, Leyde, 1637. | JFM

[Elkadi & Mourrain 2007] Elkadi (Mohamed) & Mourrain (Bernard) - Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux, Paris : Springer, 2007. | Zbl

[Euler 1911] Euler (Leonhard) - Leonhardi Euleri opera omnia, series I-IV, Basel : Societatis Scientarum Naturalium Helveticae, 1911. | Zbl

[Euler 1738] Euler (Leonhard) - De formis radicum aequationum cuiusque ordinis coniectatio, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 6 (1732), 1738, p. 216-231 ; Opera omnia I, 6, p. 1-19.

[Euler 1748] Euler (Leonhard) - Introductio in analysin infinitorum, Lausanne, Paris (1796), 1748 ; Opera omnia I, 8-9, trad. fr. par J.-B. Labey. | Zbl

[Euler 1750a] Euler (Leonhard) - Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes, Histoire de l'Académie des sciences et belles-lettres de Berlin, 4 (1748), 1750, p. 219-233 ; Opera omnia I, 26, p. 33-45.

[Euler 1750b] Euler (Leonhard) - Démonstration sur le nombre des points où deux lignes des ordres quelconques peuvent se couper, Histoire de l'Académie des sciences et belles-lettres de Berlin, 4 (1748), 1750, p. 234-248 ; Opera omnia I, 26, p. 46-59.

[Euler 1766] Euler (Leonhard) - Nouvelle méthode d'éliminer les quantités inconnues des équations, Histoire de l'Académie des sciences et belles-lettres de Berlin, 20 (1764), 1766, p. 91-104 ; Opera omnia I, 6, p. 197-211.

[Fraser 1987] Fraser (Craig G.) - Joseph Louis Lagrange's algebraic vision of the calculus, Historia Math., 14(1) (1987), p. 38-53. | MR | Zbl

[Fraser 1989] Fraser (Craig G.) - The calculus as algebraic analysis : some observations on mathematical analysis in the 18th century, Archive for History of Exact Sciences, 39 (1989), p. 317-331. | MR | Zbl

[Fuhrmann 1996] Fuhrmann (Paul A.) - A polynomial approach to linear algebra, New York : Springer, 1996. | MR | Zbl

[Fuhrmann & Helmke 1989] Fuhrmann (Paul A.) & Helmke (Uwe) - Bezoutians, Linear Algebra and its Applications, 124 (1989), p. 1039-1097. | MR | Zbl

[Garnier 1937] Garnier (Robert) - Leçons d'algèbre et de géométrie à l'usage des étudiants de la Faculté des sciences de Paris, Paris, 1937. | JFM | Zbl

[Grabiner 1970] Grabiner (Judith V.) - Bezout, Étienne, dans Gillipsie (Charles), éd., Dictionary of Scientific Biography, 1970, p. 111-114.

[Hahn 1964] Hahn (Roger) - L'enseignement scientifique aux écoles militaires et d'artillerie, dans Enseignement et diffusion des sciences en France au xviiie siècle, Paris : Hermann, 1964, p. 513-545.

[Jacobi 1836] Jacobi (Carl Gustav Jacob) - De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraicis, J. reine angew. Math, 15 (1836), p. 101-124. | EuDML | Zbl

[Knobloch 1994] Knobloch (Eberhard) - Determinants, dans Grattan-Guiness, éd., Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, vol.1, London : Routledge, 1994, p. 766-774.

[Lagrange 1867-1892] Lagrange (Joseph-Louis) - Œuvres de Lagrange, 14 vol., Paris, 1867-1892.

[Lagrange 1771] Lagrange (Joseph-Louis) - Sur l'élimination des inconnues dans les équations, dans Œuvres de Lagrange, tome 3, 1771, p. 141-154.

[Laplace 1992] Laplace (Pierre Simon) - Leçons de mathématiques (1795), dans Dhombres (Jean), éd., L'École Normale de l'an III, vol.2, Paris : Dunod, 1992. | Zbl

[Lerer & Haimovici 1995] Lerer (Leonid) & Haimovici (Julian) - Bezout operators for analytic operator functions, I. A general concept of Bezout operator, Integral Equations and Operator Theory, 21 (1995), p. 33-70. | MR | Zbl

[Lerer & Rodman 1996] Lerer (Leonid) & Rodman (Leiba) - Bezoutians of rational matrix functions, Journal of Functional Analysis, 141 (1996), p. 1-36. | MR | Zbl

[Lerer & Rodman 1999] Lerer (Leonid) & Rodman (Leiba) - Bezoutians of rational matrix functions, matrix equations and factorisations, Linear Algebra and its Applications, 302-303 (1999), p. 105-133. | MR | Zbl

[Levavasseur 1907] Levavasseur (Raymond) d'après Netto (Eugen) - Les fonctions rationnelles, dans Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, t. I, vol.2, Paris, 1907, p. 1-232.

[Lhuillier 1886] Lhuillier (Théodore) - Le mathématicien Bézout, dans Almanach historique, topographique et statistique du département de Seine et Marne et du diocèse de Meaux, 1886, p. 185-190.

[Muir 1906] Muir (Thomas) - History of the theory of determinants, vol.1, New York, 1906 ; réimp. Dover, 1960. | MR

[Newton 1707] Newton (Isaac) - Arithmetica universalis, London, 1707.

[Newton 1967-1981] Newton (Isaac) - The mathematical papers of sir Isaac Newtonéd. par D. T. Whiteside, Cambridge Univ. Press, 1967-1981. | MR | Zbl

[Papelier 1903] Papelier (Georges) - Précis d'algèbre et de trigonométrie, Cours de Mathématiques spéciales, 1903. | JFM

[Peiffer & Dahan-Dalmedico 1986] Peiffer (Jeanne) & Dahan-Dalmedico (Amy) - Une histoire des mathématiques, Paris : Éditions du Seuil, 1986.

[Petit 1930] Petit (Léon) - Le mathématicien Étienne Bézout (1730-1783), Nemours, 1930.

[Sylvester 1973] Sylvester (James Joseph) - The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, New York : Amer. Math. Soc., 1973.

[Sylvester 1840] Sylvester (James Joseph) - A method of determining by mere inspection the derivatives from two equations of any degree, London and Edinburg Philosophy Magazine, 16 (1840), p. 132-135 ; CMPP 1, p. 54-57.

[Sylvester 1853] Sylvester (James Joseph) - On a theory of syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraic common measure, Philosophical Transactions, 143 (1853), p. 407-548 ; CMPP 1, p. 429-586.

[Taton 1964] Taton (René), éd. - Enseignement et diffusion des sciences en France au xviiie siècle, Paris : Hermann, 1964.

[Vandermonde 1776] Vandermonde (Alexandre-Théophile) - Mémoire sur l'élimination, MARS, II (1772), 1776, p. 516-532.

[Vinot 1883] Vinot (Jean) - Etienne Bézout : sa vie & ses œuvres, Nemours, 1883.

[White 1909] White (Henry S.) - Bezout's theory of resultants and its influence on geometry, Bulletin of the American Mathematical Society, 15 (1909), p. 325-338. | JFM | MR

[Wimmer 1990] Wimmer (Harald K.) - On the history of the Bezoutian and the resultant matrix, Linear Algebra and its Applications, 128 (1990), p. 27-34. | MR | Zbl