Algèbre des fonctions elliptiques et géométrie des ovales cartésiennes
[Algebra of Elliptic Functions and Geometry of cartesian Ovals]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 7 (2001) no. 2, pp. 161-205.

Researches on cartesian ovals over the course of the 19th century attest to the revival of geometrical methods and illustrate a competition between these methods and analytic calculations. In particular, they played a part in the relations between the algebra of elliptic functions and the geometry of curves, which mathematicians saw in terms of application or of interpretation of one field in terms of another. In 1850, Roberts and Genocchi obtained rectifications of ovals with arcs of ellipses through formal computations; some ten years later, Mannheim and Darboux proved them again using geometrical reasoning. Deep relations between elliptic functions and cartesian ovals were also established in 1867, with the geometrical proofs of the addition theorem of elliptic functions given by Darboux and Laguerre. When Darboux proved the orthogonality of systems of homofocal ovals, he also showed that ovals provide a geometrical interpretation of the addition theorem, and that they constitute the algebraic form of the integral solution. Laguerre, on the other hand, proved the addition theorem with the help of analagmatic curves using Poncelet's theorem on inscribed and circumscribed polygons in two conics. Works on the representation of elliptic functions provide yet another point of view. In the 1880s, Greenhill proved that the elliptic functions of Jacobi and Weierstrass could be represented by bicircular quartics, a special case of which are ovals. In particular, he used the elliptic formula to prove the orthogonality of systems of homofocal ovals. In her paper of 1913, Clara Bacon both established geometrical properties of ovals from Weierstrass's function and interpreted geometrically the algebra of elliptic functions with the help of ovals.

Les recherches sur les ovales au xixe témoignent du renouveau des méthodes géométriques et illustrent la mise en concurrence de ces méthodes avec les calculs analytiques. En particulier, elles interviennent dans les relations entre l'algèbre des fonctions elliptiques et la géométrie des courbes, que les mathématiciens pensent en termes d'application ou d'interprétation d'un domaine dans l'autre. La rectification des ovales en arcs d'ellipses est obtenue dans les années 1850 par Roberts et Genocchi, de manière calculatoire, puis de nouveau démontrée une dizaine d'années plus tard par Mannheim et Darboux, de manière géométrique. Les relations profondes entre fonctions elliptiques et ovales cartésiennes sont établies en 1867, avec les démonstrations géométriques du théorème d'addition des fonctions elliptiques de Darboux et de Laguerre. En prouvant l'orthogonalité des systèmes d'ovales homofocales, Darboux montre aussi que les ovales fournissent une interprétation géométrique du théorème d'addition et qu'elles constituent la forme algébrique de l'intégrale solution. Laguerre démontre le théorème d'addition à l'aide des courbes anallagmatiques, via le théorème de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits à deux coniques. Les travaux sur la représentation des fonctions elliptiques procurent un autre point de vue. Dans les années 1880, Greenhill démontre que les fonctions elliptiques de Jacobi et de Weierstrass sont représentées par des quartiques bicirculaires, dont font partie les ovales, et il applique le formulaire elliptique pour démontrer, en particulier, l'orthogonalité des systèmes d'ovales homofocales. Dans son article de 1913, Clara Bacon a le souci, à la fois, d'établir les propriétés géométriques des ovales à partir de la fonction de Weierstrass et d'interpréter géométriquement l'algèbre des fonctions elliptiques à l'aide des ovales.

Keywords: fonctions elliptiques, algèbre des fonctions elliptiques, théorème d'addition, courbes anallagmatiques, ovales cartésiennes, ovales homofocales, théorème de Poncelet
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