On Salem numbers, expansive polynomials and Stieltjes continued fractions

Guichard, Christelle; Verger-Gaugry, Jean-Louis

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 769-804.

In this paper we show that for every Salem polynomial or cyclotomic polynomial, having simple roots and no root in $\{\pm 1\}$, denoted by $T$, deg $T=m\ge 4$, there exists a monic expansive polynomial $P\left(z\right)\in \mathbb{Z}\left[z\right]$ such that $(z-1)T\left(z\right)=zP\left(z\right)-P^{*}\left(z\right)$. This association equation makes use of Bertin-Boyd’s Theorem A (1995) of interlacing of conjugates on the unit circle. The set of monic expansive polynomials $P$ satisfying this association equation contains an infinite commutative semigroup. For any $P$ in this set, characterized by a certain criterion, a Salem number $\beta$ is produced and coded by an $m$-tuple of positive rational numbers characterizing the (SITZ) Stieltjes continued fraction of the corresponding Hurwitz quotient (alternant) of $P$. This coding is a converse method to the Construction of Salem (1945). Subsets of Stieltjes continued fractions, and subsets of generalized Garsia numbers, inherit this semigroup structure.

Dans cet article on montre que pour tout polynôme $T$, de degré $m\ge 4$, à racines simples sans racine dans $\{\pm 1\}$, qui est soit de Salem soit cyclotomique, il existe un polynôme expansif unitaire $P\left(z\right)\in \mathbb{Z}\left[z\right]$ tel que $(z-1)T\left(z\right)=zP\left(z\right)-P^{*}\left(z\right)$. Cette équation d’association utilise le Théorème A (1995) de Bertin-Boyd d’entrecroisement de conjugués sur le cercle unité. L’ensemble des polynômes expansifs unitaires $P$ qui satisfont cette équation d’association contient un semi-groupe commutatif infini. Pour tout $P$ dans cet ensemble, caractérisé par un certain critère, un nombre de Salem est produit et codé par un $m$-uplet de nombres rationnels strictement positifs caractérisant la fraction continue de Stieltjes (SITZ) du quotient (alternant) d’Hurwitz correspondant à $P$. Ce codage est une réciproque à la Construction de Salem (1945). La structure de semi-groupe se transporte sur des sous-ensembles de fractions continues de Stieltjes, ainsi que sur des sous-ensembles de nombres de Garsia généralisés.

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