Hopf-Galois module structure of tame biquadratic extensions
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 24 (2012) no. 1, pp. 173-199.

Dans [14], nous avons étudié la structure de Hopf-Galois module non classique des anneaux d’entiers dans des extensions modérément ramifiées de corps locaux et globaux, et avons prouvé une généralisation partielle du théorème de Noether dans ce contexte. Dans le présent article, nous considérons des extensions galoisiennes modérées de corps de nombres L/K de groupe GC 2 ×C 2 et étudions en détail la structure locale et globale de l’anneau des entiers 𝔒 L comme module sur son ordre associé 𝔄 H dans chacune des algèbres de Hopf H donnant une structure de Hopf-Galois non classique sur l’extension. Les résultats de [14] impliquent que 𝔒 L est localement libre sur chaque 𝔄 H , et nous en tirons des conditions nécessaires et suffisantes pour que 𝔒 L soit libre sur chaque 𝔄 H . En particulier, nous considérons le cas K=, et construisons des extensions possédant une grande diversité de comportement global, ce qui implique que l’analogue direct du théorème d’Hilbert-Speiser n’est pas vrai.

In [14] we studied the nonclassical Hopf-Galois module structure of rings of algebraic integers in some tamely ramified extensions of local and global fields, and proved a partial generalisation of Noether’s theorem to this setting. In this paper we consider tame Galois extensions of number fields L/K with group GC 2 ×C 2 and study in detail the local and global structure of the ring of integers 𝔒 L as a module over its associated order 𝔄 H in each of the Hopf algebras H giving a nonclassical Hopf-Galois structure on the extension. The results of [14] imply that 𝔒 L is locally free over each 𝔄 H , and we derive necessary and sufficient conditions for 𝔒 L to be free over each 𝔄 H . In particular, we consider the case K=, and construct extensions exhibiting a variety of global behaviour, which implies that the direct analogue of the Hilbert-Speiser theorem does not hold.

DOI : 10.5802/jtnb.792
Truman, Paul J. 1

1 School of Computing and Mathematics Keele University, ST5 5BG, UK
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[1] Bley, W. and Boltje, R., Lubin-Tate formal groups and module structure over Hopf orders. J. Theor. Nombres Bordeaux 11 (1999), 269–305. | Numdam | MR | Zbl

[2] Byott, N. P. and Sodaïgui, B., Galois module structure for dihedral extensions of degree 8: Realizable classes over the group ring. Journal of Number Theory 112 (2005), 1–19. | MR

[3] Byott, N. P., Uniqueness of Hopf-Galois structure for separable field extensions. Communications in Algebra 24(10) (1996), 3217–3228, corrigendum ibid 3705. | MR | Zbl

[4] Byott, N. P., Galois structure of ideals in wildly ramified abelian p-extensions of a p-adic field, and some applications". Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 9 (1997), 201–219. | Numdam | MR | Zbl

[5] Byott, N. P., Integral Hopf-Galois Structures on Degree p 2 Extensions of p-adic Fields. Journal of Algebra 248 (2002), 334–365. | MR

[6] Childs, L. N., Taming wild extensions with Hopf algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 304 (1987), 111–140. | MR | Zbl

[7] Childs, L. N., Taming Wild Extensions: Hopf Algebras and local Galois module theory. American Mathematical Society, 2000. | MR

[8] Curtis, C. W. and Reiner, I., Methods of Representation Theory with Applications to Finite Groups and Orders (Volume 1). Wiley, 1981. | MR | Zbl

[9] Curtis, C. W. and Reiner, I., Methods of Representation Theory with Applications to Finite Groups and Orders (Volume 2). Wiley, 1981. | MR | Zbl

[10] Fröhlich, A., Galois Module Structure of Algebraic Integers. Springer, 1983. | MR | Zbl

[11] Fröhlich, A. and Taylor, M. J., Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 1991. | MR | Zbl

[12] Hilbert, D., Die Theorie der algebraischen Zahlen. Gesammelte Abhandlungen, 1965.

[13] Neukirch, J., Algebraic Number Theory. Springer, 1999. | MR | Zbl

[14] Truman, P. J., Towards a Generalised Noether Theorem for Nonclassical Hopf-Galois Structures. New York Journal of Mathematics 17 (2011), 799–810.

[15] Waterhouse, W.C., Introduction to Affine Group Schemes. Springer, 1997. | MR | Zbl

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