Un irrationnel quadratique étant donné, nous nous intéressons à la manière dont une fonction convenablement choisie produit des sous-suites de réduites de . Nous étudions trois schémas numériques : les méthodes type sécante et certaines généralisations formelles, qui conduisent à des sous-suites à récurrence linéaire ; la méthode de la fausse position, qui conduit à des sous-suites arithmétiques de réduites et donne quelques intéressants développement en série ; la méthode de Newton, pour laquelle nous complétons un résultat d’Edward Burger [1] sur l’existence de fonctions qui fournissent des sous-suites arithmétiques de réduites.
Given a quadratic irrational , we are interested in how some numerical schemes applied to a convenient function provide subsequences of convergents to . We investigate three numerical schemes: secant-like methods and formal generalizations, which lead to linear recurring subsequences; the false position method, which leads to arithmetical subsequences of convergents and gives some interesting series expansions; Newton’s method, for which we complete a result of Edward Burger [1] about the existence of some functions which provide arithmetical subsequences of convergents.
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Rittaud, Benoît. On subsequences of convergents to a quadratic irrational given by some numerical schemes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 2, pp. 449-474. doi : 10.5802/jtnb.726. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.726/
[1] E. Burger, On Newton’s method and rational approximations to quadratic irrationals. Canad. Math. Bull. 47 (2004), 12–16. | MR | Zbl
[2] G. Hardy and E. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 1965.
[3] T. Komatsu, Continued fractions and Newton’s approximations, II. Fibonacci Quart. 39 (2001), 336–338. | MR | Zbl
[4] G. Rieger, The golden section and Newton approximation. Fibonacci Quart. 37 (1999), 178–179. | MR | Zbl
[5] D. Rosen, A class of continued fractions associated with certain properly discontinuous groups. Duke Math. J. 21 (1954), 549–563. | MR | Zbl
[6] J.-A. Serret, Sur le développement en fraction continue de la racine carrée d’un nombre entier. J. Math. Pures Appl. XII (1836), 518–520.
Cité par Sources :
