Cohen-Lenstra sums over local rings
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 817-838.

On étudie des séries de la forme M |Aut R (M)| -1 |M| -u , où R est un anneau commutatif local et u est un entier non-negatif, la sommation s’étendant sur tous les R-modules finis, à isomorphisme prés. Ce problème est motivé par les heuristiques de Cohen et Lenstra sur les groupes des classes des corps de nombres, où de telles sommes apparaissent. Si R a des propriétés additionelles, on reliera les sommes ci-dessus à une limite de fonctions zêta des modules libres R n , ces fonctions zêta comptant les sous-R-modules d’indice fini dans R n . En particulier on montrera que cela est le cas pour l’anneau de groupe p [C p k ] d’un groupe cyclique d’ordre p k sur les entiers p-adiques. Par conséquant on pourra prouver une conjecture de [5], affirmant que la somme ci-dessus correspondante à R= p [C p k ] et u=0 converge. En outre on considère des sommes raffinées, où M parcourt tous les modules satisfaisant des conditions cohomologiques additionelles.

We study series of the form M |Aut R (M)| -1 |M| -u , where R is a commutative local ring, u is a non-negative integer, and the summation extends over all finite R-modules M, up to isomorphism. This problem is motivated by Cohen-Lenstra heuristics on class groups of number fields, where sums of this kind occur. If R has additional properties, we will relate the above sum to a limit of zeta functions of the free modules R n , where these zeta functions count R-submodules of finite index in R n . In particular we will show that this is the case for the group ring p [C p k ] of a cyclic group of order p k over the p-adic integers. Thereby we are able to prove a conjecture from [5], stating that the above sum corresponding to R= p [C p k ] and u=0 converges. Moreover we consider refined sums, where M runs through all modules satisfying additional cohomological conditions.

DOI : 10.5802/jtnb.471
Classification : 11S45, 16H05, 20C05
Wittmann, Christian 1

1 Universität der Bundeswehr München Fakultät für Informatik Institut für Theoretische Informatik und Mathematik 85577 Neubiberg, Germany
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