À propos du théorème de Belyi
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 93-99.

Le théorème de Belyi affirme que sur toute courbe algébrique C lisse projective et géométriquement connexe, définie sur ¯, il existe une fonction f non ramifiée en dehors de 0,1,. Nous montrons que cette fonction peut être choisie sans automorphismes, c’est-à-dire telle que pour tout automorphisme non trivial a de C, on ait f𝔞f. Nous en déduisons que si 𝕂 est une extension finie de , toute 𝕂-classe d’isomorphisme de courbes algébriques lisses projectives géométriquement connexes peut être caractérisée par un dessin d’enfant de Grothendieck, c’est à dire par une classe d’isomorphisme topologique de revêtements de la sphère privée de trois points. Nous en donnons quelques exemples.

A famous theorem of Belyi asserts that on any smooth projective geometrically connected algebraic curve C defined over ¯ there exists a function f unramified outside 0,1,. We show that this function can be choosen without non trivial automorphism. As a consequence, for 𝕂 a finite extension of , any 𝕂-isomorphism class of smooth projective geometrically connected algebraic curves can be characterized by a dessin d’enfant de Grothendieck, i.e. an isomorphism class of finite connected topological coverings of the sphere minus three points. We give a few examples of this situation.

Classification : 11R32, 11Y40
Mots clés : corps globaux, revêtements
@article{JTNB_1996__8_1_93_0,
     author = {Couveignes, Jean-Marc},
     title = {\`A propos du th\'eor\`eme de {Belyi}},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {93--99},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {8},
     number = {1},
     year = {1996},
     mrnumber = {1399948},
     zbl = {0869.11092},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Couveignes, Jean-Marc
TI  - À propos du théorème de Belyi
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1996
SP  - 93
EP  - 99
VL  - 8
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - http://www.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1996__8_1_93_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Couveignes, Jean-Marc
%T À propos du théorème de Belyi
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1996
%P 93-99
%V 8
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U http://www.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/
%G fr
%F JTNB_1996__8_1_93_0
Couveignes, Jean-Marc. À propos du théorème de Belyi. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 1, pp. 93-99. http://www.numdam.org/item/JTNB_1996__8_1_93_0/

Alexandre Grothendieck, [GR] esquisse d'un programme, non publié (1974).

[BE] G.V. Belyi, On Galois extensions of the maximal cyclotomic field, Izvestiya Ak. Nauk. SSSR, ser. mat. 43(2) (1979), 269-276. | MR | Zbl

[C1] Jean-Marc Couveignes, Calcul et rationalité de fonctions de Belyi en genre 0, Annales de l'Institut Fourier 44 (1994), 1-38. | Numdam | MR | Zbl

[C2] ____, Quelques revêtements définis sur Q, à paraître dans Manuscripta Mathematica (1996).

[WE] André Weil, The field of definition of a variety, Amer. J. Math. 78 (1956), 509-524. | MR | Zbl

[SI] Joseph Silverman, The arithmetic of elliptic curves, vol. 106, Springer Lecture Notes in Math., 1986. | MR | Zbl

[SC] Leila Schneps, The Grothendieck theory of dessins d'enfant, vol. 200, Cambridge University Press, London Mathematical Society Lecture Notes Series,1994. | MR | Zbl