Completed Iwahori-Hecke algebras and parahoric Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields
[Algèbres d’Iwahori-Hecke complétées et algèbres de Hecke parahoriques pour les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 6 (2019), pp. 79-118.

Soit G un groupe de Kac-Moody déployé sur un corps local non archimédien. Nous définissons une complétion de l’algèbre d’Iwahori-Hecke de G, puis nous prouvons que son centre est isomorphe (via l’isomorphisme de Satake) à l’algèbre de Hecke sphérique de G, ce qui est analogue au cas des groupes réductifs. Notre outil principal est la masure associée à G, qui joue ici un rôle similaire à celui de l’immeuble de Bruhat-Tits dans le cas réductif. Dans une seconde partie, nous associons une algèbre de Hecke à chaque face sphérique F de type 0. Jusqu’à présent cette construction n’était connue que pour le sous-groupe sphérique et le sous-groupe d’Iwahori.

Let G be a split Kac-Moody group over a non-Archimedean local field. We define a completion of the Iwahori-Hecke algebra of G, then we compute its center and prove that it is isomorphic (via the Satake isomorphism) to the spherical Hecke algebra of G. This is thus similar to the situation for reductive groups. Our main tool is the masure associated to this setting, which plays here the same role as Bruhat-Tits buildings do for reductive groups. In a second part, we associate a Hecke algebra to each spherical face F of type 0, extending a construction that was only known, in the Kac-Moody setting, for the spherical subgroup and for the Iwahori subgroup.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jep.88
Classification : 20G44, 20C08, 20E42
Keywords: Kac-Moody groups, Hecke algebras, masure, local fields, Iwahori-Hecke algebras
Mot clés : Groupes de Kac-Moody, algèbres de Hecke, masure, corps locaux, algèbres d’Iwahori-Hecke
Abdellatif, Ramla 1 ; Hébert, Auguste 2

1 LAMFA – UPJV, UMR CNRS 7352 80 039 Amiens Cedex 1, France
2 Université de Lyon, UJM-Saint-Étienne CNRS, UMR CNRS 5208 F-42023, Saint-Étienne, France
@article{JEP_2019__6__79_0,
     author = {Abdellatif, Ramla and H\'ebert, Auguste},
     title = {Completed {Iwahori-Hecke} algebras and parahoric {Hecke} algebras for {Kac-Moody~groups} over local fields},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {79--118},
     publisher = {Ecole polytechnique},
     volume = {6},
     year = {2019},
     doi = {10.5802/jep.88},
     zbl = {07033366},
     mrnumber = {3915193},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.88/}
}
TY  - JOUR
AU  - Abdellatif, Ramla
AU  - Hébert, Auguste
TI  - Completed Iwahori-Hecke algebras and parahoric Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields
JO  - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
PY  - 2019
SP  - 79
EP  - 118
VL  - 6
PB  - Ecole polytechnique
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.88/
DO  - 10.5802/jep.88
LA  - en
ID  - JEP_2019__6__79_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Abdellatif, Ramla
%A Hébert, Auguste
%T Completed Iwahori-Hecke algebras and parahoric Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields
%J Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
%D 2019
%P 79-118
%V 6
%I Ecole polytechnique
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.88/
%R 10.5802/jep.88
%G en
%F JEP_2019__6__79_0
Abdellatif, Ramla; Hébert, Auguste. Completed Iwahori-Hecke algebras and parahoric Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 6 (2019), pp. 79-118. doi : 10.5802/jep.88. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.88/

[BK11] Braverman, A.; Kazhdan, D. The spherical Hecke algebra for affine Kac-Moody groups I, Ann. of Math. (2) (2011), pp. 1603-1642 | DOI | MR | Zbl

[BKP16] Braverman, A.; Kazhdan, D.; Patnaik, M. M. Iwahori–Hecke algebras for p-adic loop groups, Invent. Math., Volume 204 (2016) no. 2, pp. 347-442 | DOI | MR | Zbl

[BPGR16] Bardy-Panse, N.; Gaussent, S.; Rousseau, G. Iwahori-Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields, Pacific J. Math., Volume 285 (2016) no. 1, pp. 1-61 | DOI | MR | Zbl

[BT72] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 41 (1972) no. 1, pp. 5-251 | DOI | Zbl

[BT84] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 60 (1984) no. 1, pp. 5-184 | DOI

[GR08] Gaussent, S.; Rousseau, G. Kac-Moody groups, hovels and Littelmann paths, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 58 (2008) no. 7, pp. 2605-2657 | DOI | MR | Zbl

[GR14] Gaussent, S.; Rousseau, G. Spherical Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields, Ann. of Math. (2), Volume 180 (2014) no. 3, pp. 1051-1087 | DOI | MR | Zbl

[Hum92] Humphreys, J. E. Reflection groups and Coxeter groups, 29, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992 | Zbl

[Héb16] Hébert, A. Distances on a masure (affine ordered hovel) (2016) (arXiv:1611.06105)

[Héb17a] Hébert, A. Convexity in a masure (2017) (arXiv:1710.09272)

[Héb17b] Hébert, A. Gindikin-Karpelevich Finiteness for Kac-Moody Groups Over Local Fields, Internat. Math. Res. Notices (2017) no. 22, pp. 7028-7049 | MR | Zbl

[IM65] Iwahori, N.; Matsumoto, H. On some Bruhat decomposition and the structure of the Hecke rings of p-adic Chevalley groups, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 25 (1965), pp. 5-48 | DOI | Zbl

[Iwa64] Iwahori, N. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a finite field, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., Volume 10 (1964), pp. 215-236 | MR | Zbl

[Kac94] Kac, V. G. Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994

[Kum02] Kumar, S. Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory, Progress in Math., 204, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002 | MR | Zbl

[Loo80] Looijenga, E. Invariant theory for generalized root systems, Invent. Math., Volume 61 (1980) no. 1, pp. 1-32 | DOI | MR | Zbl

[Lus83] Lusztig, G. Singularities, character formulas, and a q-analog of weight multiplicities, Analyse et topologie sur les espaces singuliers, II, III (Luminy, 1981) (Astérisque), Volume 101-102, Société Mathématique de France, Paris, 1983, pp. 208-229 | Zbl

[Lus89] Lusztig, G. Affine Hecke algebras and their graded version, J. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1989) no. 3, pp. 599-635 | DOI | MR | Zbl

[NR03] Nelsen, K.; Ram, A. Kostka-Foulkes polynomials and Macdonald spherical functions, Surveys in combinatorics, 2003 (Bangor) (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 307, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, pp. 325-370 | DOI | MR | Zbl

[Opd03] Opdam, E. M. A generating function for the trace of the Iwahori-Hecke algebra, Studies in memory of Issai Schur (Chevaleret/Rehovot, 2000) (Progress in Math.), Volume 210, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2003, pp. 301-323 | DOI | MR | Zbl

[Par06] Parkinson, J. Buildings and Hecke algebras, J. Algebra, Volume 297 (2006) no. 1, pp. 1-49 | DOI | MR | Zbl

[Rou11] Rousseau, G. Masures affines, Pure and Applied Mathematics Quarterly, Volume 7 (2011) no. 3, pp. 859-921 | DOI | MR | Zbl

[Rou16] Rousseau, G. Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local II. Masures ordonnées, Bull. Soc. math. France, Volume 144 (2016) no. 4, pp. 613-692 | DOI | Zbl

[Rou17] Rousseau, G. Almost split Kac-Moody groups over ultrametric fields, Groups Geom. Dyn., Volume 11 (2017), pp. 891-975 | DOI | MR | Zbl

[Rém02] Rémy, B. Groupes de Kac-Moody déployés et presque déployés, Astérisque, 277, Société Mathématique de France, Paris, 2002 | Zbl

[Shi59] Shimura, G. Sur les intégrales attachées aux formes automorphes, J. Math. Soc. Japan, Volume 11 (1959), pp. 291-311 | DOI | Zbl

[Tit87] Tits, J. Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields, J. Algebra, Volume 105 (1987) no. 2, pp. 542-573 | DOI | MR | Zbl

[Vig96] Vignéras, M.-F. Représentations -modulaires d’un groupe réductif p-adique avec p, Progress in Math., 137, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996

Cité par Sources :