Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 141 (2013) no. 2, p. 225-265

Given a multivariate polynomial hX 1 ,,X n with integral coefficients verifying an hypothesis of analytic regularity (and satisfying h(0)=1), we determine the maximal domain of meromorphy of the Euler product p prime hp -s 1 ,,p -s n and the natural boundary is precisely described when it exists. In this way we extend a well known result for one variable polynomials due to Estermann from 1928. As an application, we calculate the natural boundary of the multivariate Euler products associated to a family of toric varieties.

Etant donné un polynôme de plusieurs variables hX 1 ,,X n à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique (et vérifiant h(0)=1), on détermine le domaine maximal de méromorphie du produit eulérien p premier hp -s 1 ,,p -s n et la frontière naturelle de méromorphie est décrite précisément lorsqu’elle existe. De cette façon on généralise un résultat célèbre de 1928 concernant les polynômes d’une variable due à Estermann. En guise d’application, on détermine la frontière naturelle de produits eulériens de plusieurs variables associés à une famille de variétés toriques.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2647
Classification:  11M32,  11M41,  32D15,  11N99,  14G05
Keywords: multivariables Euler products, meromorphic continuation, natural boundary, cyclotomic polynomial, rational point on a toric variety
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Delabarre, Ludovic. Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 141 (2013) no. 2, pp. 225-265. doi : 10.24033/bsmf.2647. http://www.numdam.org/item/BSMF_2013__141_2_225_0/

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