Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3

Jammes, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 2, pp. 237-255

Soit $M$ une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre $d$ et de volume $\le V$. Si on note ${\mu }_i\left(M\right)$ la $i$-ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de $M$, on montre que ${\mu }_1\left(M\right)\ge \frac{c}{d^3{e}^{2kd}}$ et ${\mu }_{k+1}\left(M\right)\ge \frac{c}{d^2}$, où $c>0$ est une constante ne dépendant que de $V$, et $k$ est le nombre de composantes connexes de la partie mince de $M$. En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique $M_{\infty }$ de volume fini avec cusps, il existe une suite $M_i$ de remplissages compacts de $M_{\infty }$, de diamètre $d_i\to +\infty$ telle que et ${\mu }_1\left(M_i\right)\ge \frac{c}{d_i^2}$.

Let $M$ be a compact hyperbolic 3-manifold of diameter $d$ and volume $\le V$. If ${\mu }_i\left(M\right)$ denotes the $i$-th eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact 1-forms of $M$, we prove that ${\mu }_1\left(M\right)\ge \frac{c}{d^3{e}^{2kd}}$ and ${\mu }_{k+1}\left(M\right)\ge \frac{c}{d^2}$, where $c>0$ depends only on $V$, and $k$ is the number of connected component of the thin part of $M$. Moreover, we prove that for any finite volume hyperbolic 3-manifold $M_{\infty }$ with cusps, there is a sequence $M_i$ of compact fillings of $M_{\infty }$ of diameter $d_i\to +\infty$ such that ${\mu }_1\left(M_i\right)\ge \frac{c}{d_i^2}$.

Classification : 35P15, 58J50, 53C21, 57M50
Mots-clés : laplacien de Hodge-De Rham, formes différentielles, variétés hyperboliques
Keywords: Hodge laplacian, differential forms, hyperbolic manifolds

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