Singularités à l'infini et intégration motivique  [ Singularities at infinity and motivic integration ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 140 (2012) no. 1, p. 51-100

Let k be a field of characteristic zero and f be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When k is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of f. As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value a, we define a complete motivic Milnor fiber S f,a . This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber S f-a . Then we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set of f and a notion of motivically tame function.

Soit k un corps de caractéristique nulle et f une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque k est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de f. Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur a, nous définissons une fibre de Milnor motivique complète S f,a qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle S f-a . Ceci permet d’introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de f et une notion de fonction motiviquement modérée.

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Raibaut, Michel. Singularités à l'infini et intégration motivique. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 140 (2012) no. 1, pp. 51-100. doi : 10.24033/bsmf.2624. http://www.numdam.org/item/BSMF_2012__140_1_51_0/

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