no. 4
Invariance of the parity conjecture for p-Selmer groups of elliptic curves in a D 2p n -extension
[Invariance de la conjecture de parité des p-groupes de Selmer de courbes elliptiques dans une D 2p n -extension]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 571-592

We show a p-parity result in a D 2p n -extension of number fields L/K (p≥5) for the twist 1⊕η⊕τ: W(E/K,1⊕η⊕τ)=(-1) 1⊕η⊕τ,X p (E/L) , where E is an elliptic curve over K, η and τ are respectively the quadratic character and an irreductible representation of degree 2 of Gal (L/K)=D 2p n , and X p (E/L) is the p-Selmer group. The main novelty is that we use a congruence result between ε 0 -factors (due to Deligne) for the determination of local root numbers in bad cases (places of additive reduction above 2 and 3). We also give applications to the p-parity conjecture (using the machinery of the Dokchitser brothers).

On démontre un résultat de p-parité, dans une extension galoisienne de corps de nombre de groupe D 2p n , pour le twist 1⊕η⊕τ : W(E/K,1⊕η⊕τ)=(-1) 1⊕η⊕τ,X p (E/L) , où E est une courbe elliptique définie sur K, η et τ sont respectivement le caractère quadratique et une représentation irréductible de degré 2 de Gal (L/K)=D 2p n , et X p (E/L) est le p-groupe de Selmer. La principale nouveauté est le fait que l’on utilise un résultat de congruence (dû à Deligne) pour déterminer les « root numbers » locaux dans les mauvais cas (les places additives au-dessus de 2 et 3). On donne aussi, en utilisant la machinerie des frères Dokchitser, deux applications à la conjecture de p-parité.

DOI : 10.24033/bsmf.2620
Classification : 11G05, 11G07, 11G40
Keywords: elliptic curves, Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, parity conjecture, regulator constants, epsilon factors, root numbers
Mots-clés : courbes elliptiques, conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, conjecture de parité, facteurs epsilon 
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de La Rochefoucauld, Thomas. Invariance of the parity conjecture for $p$-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^{n}}$-extension. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 571-592. doi: 10.24033/bsmf.2620

[1] N. Billerey - « Semi-stabilité des courbes elliptiques », Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 468 (2009). | Zbl | MR

[2] P. Deligne - « Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L », in Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math., vol. 349, Springer, 1973, p. 501-597. | Zbl | MR

[3] T. Dokchitser & V. Dokchitser - « Regulator constants and the parity conjecture », Invent. Math. 178 (2009), p. 23-71. | Zbl | MR

[4] -, « Self-duality of Selmer groups », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 146 (2009), p. 257-267. | Zbl | MR

[5] -, « Roots numbers and parity of ranks of elliptics curves », J. reine angew. Math. 658 (2011), p. 39-64. | MR

[6] A. Kraus - « Sur le défaut de semi-stabilité des courbes elliptiques à réduction additive », Manuscripta Math. 69 (1990), p. 353-385. | Zbl | MR

[7] J. Nekovář - « On the parity of ranks of Selmer groups. III », Doc. Math. 12 (2007), p. 243-274. | Zbl | MR

[8] -, « On the parity of ranks of Selmer groups. IV », Compos. Math. 145 (2009), p. 1351-1359. | Zbl | MR

[9] D. E. Rohrlich - « Elliptic curves and the Weil-Deligne group », in Elliptic curves and related topics, CRM Proc. Lecture Notes, vol. 4, Amer. Math. Soc., 1994, p. 125-157. | Zbl | MR

[10] -, « Galois theory, elliptic curves, and root numbers », Compositio Math. 100 (1996), p. 311-349. | Zbl | MR | Numdam

[11] -, « Galois invariance of local root numbers », Mathematische Annalen 351 (2011), p. 979-1003. | Zbl | MR

[12] J-P. Serre - Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, 1998. | Zbl

[13] J. H. Silverman - Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Math., vol. 151, Springer, 1994. | Zbl | MR

[14] -, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Math., vol. 106, Springer, 1994. | Zbl

[15] J. Tate - « Number theoretic background » 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, p. 3-26. | Zbl | MR

[16] J. P. Wintenberger - « Potential modularity of elliptic curves over totally real fields », appendix to [8].

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