Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology

Menichi, Luc

doi:10.24033/bsmf.2576

Menichi, Luc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 137 (2009) no. 2, p. 277-295

Abstract
Résumé

Let $M$ be any compact simply-connected oriented $d$ -dimensional smooth manifold and let $𝔽$ be any field. We show that the Gerstenhaber algebra structure on the Hochschild cohomology on the singular cochains of $M$ , $H H^{*} (S^{*} (M), S^{*} (M))$ , extends to a Batalin-Vilkovisky algebra. Such Batalin-Vilkovisky algebra was conjectured to exist and is expected to be isomorphic to the Batalin-Vilkovisky algebra on the free loop space homology on $M$ , $H_{* + d} (L M)$ introduced by Chas and Sullivan. We also show that the negative cyclic cohomology $H C_{-}^{*} (S^{*} (M))$ has a Lie bracket. Such Lie bracket is expected to coincide with the Chas-Sullivan string bracket on the equivariant homology $H_{*}^{S^{1}} (L M)$ .

Soit $M$ une variété lisse orientée compact simplement connexe de dimension $d$ . Soit $𝔽$ un corps commutatif quelconque. Nous montrons que la structure d’algèbre de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild des cochaînes singulières de $M$ , $H H^{*} (S^{*} (M), S^{*} (M))$ , s’étend en une algèbre de Batalin-Vilkovisky. L’existence d’une telle algèbre de Batalin-Vilkovisky était conjecturée. Il est prévu qu’une telle algèbre soit isomorphe à l’algèbre de Batalin-Vilkovisky sur l’homologie des lacets libres sur $M$ , $H_{* + d} (L M)$ , introduite par Chas and Sullivan. Nous montrons aussi que la cohomologie cyclique négative $H C_{-}^{*} (S^{*} (M))$ possède un crochet de Lie. Ce crochet de Lie devrait coincider avec le crochet des cordes de Chas et Sullivan sur l’homologie équivariante $H_{*}^{S^{1}} (L M)$ .

MR 2543477 | Zbl 1180.16007 | 3 citations in Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2576
Classification: 16E40, 16E45, 55P35, 57P10
Keywords: string topology, Batalin-Vilkovisky algebra, Gerstenhaber algebra, Hochschild cohomology, free loop space

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Menichi, Luc. Batalin-Vilkovisky algebra structures on Hochschild cohomology. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 137 (2009) no. 2, pp. 277-295. doi : 10.24033/bsmf.2576. http://www.numdam.org/item/BSMF_2009__137_2_277_0/

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