On some completions of the space of hamiltonian maps
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 3, p. 373-404

In one of his papers, C. Viterbo defined a distance on the set of Hamiltonian diffeomorphisms of 2n endowed with the standard symplectic form ω 0 =dpdq. We study the completions of this space for the topology induced by Viterbo’s distance and some others derived from it, we study their different inclusions and give some of their properties. In particular, we give a convergence criterion for these distances that allows us to prove that the completions contain non-ordinary elements, as for example, discontinuous Hamiltonians. We also prove that some dynamical aspects of Hamiltonian systems are preserved in the completions.

Dans un de ses articles, C. Viterbo définit une distance sur l’ensemble des difféomorphismes hamiltoniens de 2n , muni de sa forme symplectique standard ω 0 =dpdq. Nous étudions les complétés de cet espace pour la topologie induite par la distance de Viterbo, ainsi que d’autres qui en sont dérivées. Nous explicitons leurs différentes inclusions et donnons certaines de leur propriétés. En particulier, nous donnons un critère de convergence pour ces distances qui nous permet de montrer que les complétés contiennent des éléments intéressants, comme, par exemple, des hamiltoniens discontinus. Nous prouvons aussi que certains aspects de la dynamique hamiltonienne sont préservés dans les complétés.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2560
Classification:  53D12,  37J05,  70H20
Keywords: symplectic topology, hamiltonian dynamics, Viterbo distance, symplectic capacity, Hamilton-Jacobi equation
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     author = {Humili\`ere, Vincent},
     title = {On some completions of the space of hamiltonian maps},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
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Humilière, Vincent. On some completions of the space of hamiltonian maps. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 3, pp. 373-404. doi : 10.24033/bsmf.2560. http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_3_373_0/

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