Pseudo-spectrum for a class of semi-classical operators
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 3, p. 329-372

We study in this paper a notion of pseudo-spectrum in the semi-classical setting called injectivity pseudo-spectrum. The injectivity pseudo-spectrum is a subset of points in the complex plane where there exist some quasi-modes with a precise rate of decay. For that reason, these values can be considered as some ‘almost eigenvalues’ in the semi-classical limit. We are interested here in studying the absence of injectivity pseudo-spectrum, which is characterized by a global a priori estimate. We prove in this paper a sharp global subelliptic a priori estimate for a class of pseudo-differential operators with respect to the regularity of their symbols. Our main result extends the a priori estimate of Dencker, Sjöstrand and Zworski for a class of pseudo-differential operators with symbols of limited smoothness violating the condition (P).

Nous étudions dans cet article une notion de pseudo-spectre semi-classique appelée pseudo-spectre d’injectivité. Le pseudo-spectre d’injectivité d’un opérateur désigne l’ensemble des points du plan complexe qui sont des « presque valeurs propres » dans l’asymptotique semi-classique, au sens où il existe en ces points des quasi-modes semi-classiques avec des taux précis de décroissance. Nous nous intéressons ici à l’étude de l’absence de pseudo-spectre d’injectivité, et nous démontrons une estimation sous-elliptique globale pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels dont les symboles ont une régularité limitée. Ce résultat généralise dans un cadre de régularité limitée l’estimation a priori démontrée par Dencker, Sjöstrand et Zworski pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels violant la condition (P).

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2559
Classification:  35S05
Keywords: subelliptic estimate, symbols with limited smoothness, condition (Ψ ¯), Wick quantization
@article{BSMF_2008__136_3_329_0,
     author = {Pravda-Starov, Karel},
     title = {Pseudo-spectrum for a class of semi-classical operators},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {136},
     number = {3},
     year = {2008},
     pages = {329-372},
     doi = {10.24033/bsmf.2559},
     zbl = {1210.35310},
     mrnumber = {2415346},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_3_329_0}
}
Pravda-Starov, Karel. Pseudo-spectrum for a class of semi-classical operators. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 3, pp. 329-372. doi : 10.24033/bsmf.2559. http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_3_329_0/

[1] J.-M. Bony - « Sur l'inégalité de Fefferman-Phong », in Seminaire: Équations aux Dérivées Partielles, 1998-1999, Sémin. Équ. Dériv. Partielles, exposé no III, École Polytech., 1999, p. 16. | Numdam | MR 1721321 | Zbl 1086.35529

[2] A. Boulkhemair - « L 2 estimates for Weyl quantization », J. Funct. Anal. 165 (1999), p. 173-204. | MR 1696697 | Zbl 0934.35217

[3] E. B. Davies - « Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances », R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 455 (1999), p. 585-599. | MR 1700903 | Zbl 0931.70016

[4] -, « Semi-classical states for non-self-adjoint Schrödinger operators », Comm. Math. Phys. 200 (1999), p. 35-41. | MR 1671904 | Zbl 0921.47060

[5] N. Dencker, J. Sjöstrand & M. Zworski - « Pseudospectra of semiclassical (pseudo-) differential operators », Comm. Pure Appl. Math. 57 (2004), p. 384-415. | MR 2020109 | Zbl 1054.35035

[6] L. Hörmander - « A class of hypoelliptic pseudodifferential operators with double characteristics », Math. Ann. 217 (1975), p. 165-188. | MR 377603 | Zbl 0306.35032

[7] -, The analysis of linear partial differential operators, Springer, 1983-1985. | Zbl 1115.35005

[8] N. Lerner - « Energy methods via coherent states and advanced pseudo-differential calculus », in Multidimensional complex analysis and partial differential equations (São Carlos, 1995), Contemp. Math., vol. 205, Amer. Math. Soc., 1997, p. 177-201. | MR 1447224 | Zbl 0885.35152

[9] -, « The Wick calculus of pseudo-differential operators and some of its applications », Cubo Mat. Educ. 5 (2003), p. 213-236. | MR 1957713 | Zbl pre05508173

[10] K. Pravda-Starov - « A complete study of the pseudo-spectrum for the rotated harmonic oscillator », J. London Math. Soc. (2) 73 (2006), p. 745-761. | MR 2241978 | Zbl 1106.34060

[11] L. N. Trefethen - « Pseudospectra of linear operators », SIAM Rev. 39 (1997), p. 383-406. | MR 1469941 | Zbl 0896.15006

[12] M. Zworski - « Numerical linear algebra and solvability of partial differential equations », Comm. Math. Phys. 229 (2002), p. 293-307. | MR 1923176 | Zbl 1021.35077