Pseudo-spectrum for a class of semi-classical operators

Pravda-Starov, Karel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 3, pp. 329-372

We study in this paper a notion of pseudo-spectrum in the semi-classical setting called injectivity pseudo-spectrum. The injectivity pseudo-spectrum is a subset of points in the complex plane where there exist some quasi-modes with a precise rate of decay. For that reason, these values can be considered as some ‘almost eigenvalues’ in the semi-classical limit. We are interested here in studying the absence of injectivity pseudo-spectrum, which is characterized by a global a priori estimate. We prove in this paper a sharp global subelliptic a priori estimate for a class of pseudo-differential operators with respect to the regularity of their symbols. Our main result extends the a priori estimate of Dencker, Sjöstrand and Zworski for a class of pseudo-differential operators with symbols of limited smoothness violating the condition $\left(P\right)$.

Nous étudions dans cet article une notion de pseudo-spectre semi-classique appelée pseudo-spectre d’injectivité. Le pseudo-spectre d’injectivité d’un opérateur désigne l’ensemble des points du plan complexe qui sont des « presque valeurs propres » dans l’asymptotique semi-classique, au sens où il existe en ces points des quasi-modes semi-classiques avec des taux précis de décroissance. Nous nous intéressons ici à l’étude de l’absence de pseudo-spectre d’injectivité, et nous démontrons une estimation sous-elliptique globale pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels dont les symboles ont une régularité limitée. Ce résultat généralise dans un cadre de régularité limitée l’estimation a priori démontrée par Dencker, Sjöstrand et Zworski pour une classe d’opérateurs pseudo-différentiels violant la condition $\left(P\right)$.

Classification : 35S05
Keywords: subelliptic estimate, symbols with limited smoothness, condition $(\overline{\Psi })$, Wick quantization
Mots-clés : estimation sous-elliptique, symboles à régularité limitée, condition $(\overline{\Psi })$, quantification de Wick

[1] J.-M. Bony - « Sur l'inégalité de Fefferman-Phong », in Seminaire: Équations aux Dérivées Partielles, 1998-1999, Sémin. Équ. Dériv. Partielles, exposé no III, École Polytech., 1999, p. 16. | Zbl | MR | Numdam

[2] A. Boulkhemair - « $L^2$ estimates for Weyl quantization », J. Funct. Anal. 165 (1999), p. 173-204. | Zbl | MR

[3] E. B. Davies - « Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances », R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 455 (1999), p. 585-599. | Zbl | MR

[4] -, « Semi-classical states for non-self-adjoint Schrödinger operators », Comm. Math. Phys. 200 (1999), p. 35-41. | Zbl | MR

[5] N. Dencker, J. Sjöstrand & M. Zworski - « Pseudospectra of semiclassical (pseudo-) differential operators », Comm. Pure Appl. Math. 57 (2004), p. 384-415. | Zbl | MR

[6] L. Hörmander - « A class of hypoelliptic pseudodifferential operators with double characteristics », Math. Ann. 217 (1975), p. 165-188. | Zbl | MR

[7] -, The analysis of linear partial differential operators, Springer, 1983-1985. | Zbl

[8] N. Lerner - « Energy methods via coherent states and advanced pseudo-differential calculus », in Multidimensional complex analysis and partial differential equations (São Carlos, 1995), Contemp. Math., vol. 205, Amer. Math. Soc., 1997, p. 177-201. | Zbl | MR

[9] -, « The Wick calculus of pseudo-differential operators and some of its applications », Cubo Mat. Educ. 5 (2003), p. 213-236. | MR

[10] K. Pravda-Starov - « A complete study of the pseudo-spectrum for the rotated harmonic oscillator », J. London Math. Soc. (2) 73 (2006), p. 745-761. | Zbl | MR

[11] L. N. Trefethen - « Pseudospectra of linear operators », SIAM Rev. 39 (1997), p. 383-406. | Zbl | MR

[12] M. Zworski - « Numerical linear algebra and solvability of partial differential equations », Comm. Math. Phys. 229 (2002), p. 293-307. | Zbl | MR