Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite

Brunault, François

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 2, pp. 215-246

Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire $X_1\left(N\right)$. Ce résultat est la première étape d’un travail reliant, d’une part, la valeur en $2$ de la fonction $L$ d’une forme primitive de poids $2$, et d’autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l’esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où $N$ est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl concernant l’image de l’application régulateur de Beilinson.

We prove an explicit version of Beilinson’s theorem for the modular curve $X_1\left(N\right)$. This result is the first step of a work linking the value at $2$ of the $L$-function of a newform of weight 2 on the one hand, and the dilogarithm function associated to the corresponding modular curve on the other, in the spirit of Zagier’s conjecture for elliptic curves. As a corollary of our theorem, in the case $N$ is prime, we answer a question raised by Schappacher and Scholl concerning the image of Beilinson’s regulator map.

Classification : 11F67, 11G40, 19F27
Mots-clés : $K$-théorie algébrique, conjecture de Beilinson, fonction $L$, valeur spéciale, régulateur, forme modulaire, courbe modulaire, courbe elliptique, dilogarithme
Keywords: algebraic $K$-theory, Beilinson’s conjecture, $L$-function, special value, regulator, modular form, modular curve, elliptic curve, dilogarithm

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