On the rigidity of webs

Belliart, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 1-24.

Les $d$-tissus plans ont été amplement étudiés depuis leur apparition au début du xxe siècle. Un résultat relativement récent et impressionnant est le théorème de Dufour qui stipule que les conjugaisons mesurables entre 3-tissus sont nécessairement analytiques. Dans cet article nous montrons que les conjugaisons ensemblistes entre $d$-tissus (avec $d\ge 3$) sont analytiques sauf si les deux tissus sont analytiquement parallélisables. Cependant, entre deux $d$-tissus parallélisables conjugués de manière ensembliste il existe toujours une conjugaison non-mesurable ; de plus, toute paire de $3$-tissus conjugués de manière ensembliste (qu’ils soient parallélisables ou non) sont également conjugués analytiquement, alors que si $d\ge 4$, il existe des paires de $d$-tissus qui sont conjugués de manière ensembliste mais non pas de manière mesurable.

Plane $d$-webs have been studied a lot since their appearance at the turn of the 20th century. A rather recent and striking result for them is the theorem of Dufour, stating that the measurable conjugacies between 3-webs have to be analytic. Here, we show that even the set-theoretic conjugacies between two $d$-webs, $d\ge 3$ are analytic unless both webs are analytically parallelizable. Between two set-theoretically conjugate parallelizable $d$-webs, however, there always exists a nonmeasurable conjugacy; still, every pair of set-theoretically conjugate $3$-webs (parallelizable or not) also are analytically conjugate, while if $d\ge 4$ there exist pairs of $d$-webs which are set-theoretically conjugate but not even measurably so.

Classification : 53A60, 22F05
Keywords: foliations, 3-webs, conjugacy, rigidity
Mot clés : feuilletages, 3-tissus, conjugaison, rigidité

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