A class of non-rational surface singularities with bijective Nash map

Plénat, Camille; Popescu-Pampu, Patrick

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 3, pp. 383-394

Let $(𝒮,0)$ be a germ of complex analytic normal surface. On its minimal resolution, we consider the reduced exceptional divisor $E$ and its irreducible components $E_i$, $i\in I$. The Nash map associates to each irreducible component $C_k$ of the space of arcs through $0$ on $𝒮$ the unique component of $E$ cut by the strict transform of the generic arc in $C_k$. Nash proved its injectivity and asked if it was bijective. As a particular case of our main theorem, we prove that this is the case if $E·E_i<0$ for any $i\in I$.

Soit $(𝒮,0)$ un germe de surface analytique complexe normale. Nous considérons le diviseur exceptionnel réduit $E$ et ses composantes irréductibles $E_i$, $i\in I$ sur sa résolution minimale. L’application de Nash associe à chaque composante irréductible $C_k$ de l’espace des arcs passant par $0$ sur $𝒮$, l’unique composante de $E$ rencontrée par la transformée stricte de l’arc générique dans $C_k$. Nash a prouvé son injectivité et a demandé si elle était bijective. Nous prouvons que c’est le cas si $E·E_i<0$ pour tout $i\in I$ comme cas particulier de notre théorème principal.

Classification : 14B05, 32S25, 32S45
Keywords: space of arcs, Nash map, Nash problem
Mots-clés : espace des arcs, application de Nash, problème de Nash

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