Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore  [ Discretisation of Schrodinger operators on torus ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, p. 327-355

We propose two results concerning the $\zeta$-regularised determinant ${det}_{\zeta }A$ of a Schrödinger operator $A={\Delta }_{g}+V$ on a compact riemannian manifold $\left(ℳ,g\right)$. For $ℳ={S}^{1}×{S}^{1}$, we construct a sequence $\left({G}_{n},{\rho }_{n},{\Delta }_{n}\right)$ where ${G}_{n}$ is a finite graph injected in $ℳ$ via ${\rho }_{n}$, in such a way that ${\rho }_{n}\left({G}_{n}\right)$ triangulates $ℳ$. ${\Delta }_{n}$ is a discrete laplacian on ${G}_{n}$ so that for every potential $V$ on $ℳ$, the sequence $det\left({\Delta }_{n}+V\right)$ converges, after normalisation, to ${det}_{\zeta }\left({\Delta }_{g}+V\right)$. Last, we give on every riemannian compact manifold $\left(ℳ,g\right)$ whose dimension is less than or equal to $3$ and with a transitiv isometry group, the maximum of the determinant ${det}_{\zeta }\left({\Delta }_{g}+V\right)$.

Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta$-régularisé ${det}_{\zeta }A$ d’un opérateur de Schrödinger $A={\Delta }_{g}+V$ sur une variété compacte $ℳ$. Nous construisons, pour $ℳ={S}^{1}×{S}^{1}$, une suite $\left({G}_{n},{\rho }_{n},{\Delta }_{n}\right)$${G}_{n}$ est un graphe fini qui se plonge dans $ℳ$ via ${\rho }_{n}$ de telle manière que ${\rho }_{n}\left({G}_{n}\right)$ soit une triangulation de $ℳ$ et où ${\Delta }_{n}$ est un laplacien discret sur ${G}_{n}$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $ℳ$, la suite de réels $det\left({\Delta }_{n}+V\right)$ converge après renormalisation vers ${det}_{\zeta }\left({\Delta }_{g}+V\right)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $\left(ℳ,g\right)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d’isométries transitif, un majorant du déterminant ${det}_{\zeta }\left({\Delta }_{g}+V\right)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2512
Classification:  53B21,  53C24,  94C15,  53A35,  58J40,  58J50
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Chaumard, Laurent. Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, pp. 327-355. doi : 10.24033/bsmf.2512. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_3_327_0/

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