Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 1, pp. 83-117.

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si 𝔤 est semi-simple, son indice, ind𝔤, est égal à son rang, rg𝔤. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de 𝔫(𝔤 e ) pour e nilpotent, où 𝔫(𝔤 e ) est le normalisateur dans 𝔤 du centralisateur 𝔤 e de e. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :

ind𝔫(𝔤 e )=rg𝔤-dim𝔷(𝔤 e ),
𝔷(𝔤 e ) est le centre de 𝔤 e . Panyushev obtient l’inégalité ind𝔫(𝔤 e )rg𝔤-dim𝔷(𝔤 e ) dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité du rang d’une certaine matrice à coefficients dans l’algèbre symétrique 𝒮(𝔤 e ) implique l’autre inégalité. L’article consiste pour une large part en la preuve de la maximalité du rang de cette matrice.

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose 𝔤 semisimple, then its index, ind𝔤, is equal to its rank, rk 𝔤. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of 𝔫(𝔤 e ), for e nilpotent, where 𝔫(𝔤 e ) is the normaliser in 𝔤 of the centraliser 𝔤 e of e. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev Panyushev (2003):

ind𝔫(𝔤 e )= rk 𝔤-dim𝔷(𝔤 e ),
where 𝔷(𝔤 e ) is the centre of 𝔤 e . Panyushev (2003) obtained the inequality ind𝔫(𝔤 e )rg𝔤-dim𝔷(𝔤 e ) and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra 𝒮(𝔤 e ) implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2502
Classification : 22-04,  22E46,  22E60,  17B10,  17B20
Mots clés : indice, représentation, algèbre de Lie, normalisateur, centralisateur, élément nilpotent
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Moreau, Anne. Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 1, pp. 83-117. doi : 10.24033/bsmf.2502. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_1_83_0/

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