Platitude du module universel pour GL 3 en caractéristique non banale  [ Flatness of the universal module for GL 3  ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, p. 507-525
Let F be a p-adic field, G= GL 3 (F), and χ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring k. We introduce, following Serre, a smooth representation of G over k which is central for the theory of unramified representation of G over k. We prove that M χ is flat over k for arbitrary k, and that if p is invertible in k, that M χ U is free of finite rank over k for U small compact open subgroup of G. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if k is a field of characteristic different of p, M χ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character χ, whose structure is known thanks to Vignéras.
Soient F un corps p-adique, G= GL 3 (F). Pour χ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de G sur un anneau commutatif k, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse M χ de G sur k qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de G sur k. Nous prouvons que M χ est plat sur k et que si p est inversible dans k, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit U de G, le module M χ U est libre de rang fini sur k. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si k est un corps de caractéristique différente de p, M χ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère χ, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2453
Classification:  20C12,  20C20
Keywords: flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings
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Bellaïche, Joël; Otwinowska, Ania. Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 507-525. doi : 10.24033/bsmf.2453. http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_4_507_0/

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[10] J.-P. Serre - « Cours au Collège de France (1987-1988) », photocopies de notes manuscrites anonymes ; résumé dans les Œuvres complètes de Serre, vol.3.

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[12] T. Steger - « Local Fields and Buildings », Harmonic Functions on Trees and buildings (New York, 1995) (A. Koranyi, éd.), Contemporary Mathematics, vol. 206, Amer. Math. Soc., 1997, p. 79-107. | MR 1463729 | Zbl 1156.51301

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[14] M.-F. Vignéras - Représentations -modulaire d’un groupe réductif p-adique avec p, Progress in Math., vol. 137, Birkhäuser, 1996. | Zbl 0859.22001