Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension  [ Pre-image of the skeleton under a map between Berkovich spaces of the same dimension ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, p. 483-506

This article deals with Berkovich analytic spaces. Let k be a complete field with respect to an ultrametric absolute value and let 𝔛 be a formal scheme over the unit ball k 0 of k. If 𝔛 is pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad » ) then its generic fibre 𝔛 η admits a retraction toward a closed subset S(𝔛) (the skeleton of 𝔛) which carries a natural structure of piecewise-linear space. If 𝔜𝔛 is an étale morphism between two pluri-stable formal schemes then S(𝔜) is exactly the pre-image of S(𝔛), and S(𝔜)S(𝔛) is piecewise-linear. Here we show that if 𝔛 is pluri-stable of pure dimension n and if φ is any morphism from an Hausdorff strictly k-analytic space of dimension n to 𝔛 η then φ -1 (S(𝔛)) carries a unique piecewise-linear structure such that φ is piecewise-linear.

Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich. Soit k un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit 𝔛 un schéma formel au-dessus de la boule unité k 0 de k. Si 𝔛 est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables » ) alors sa fibre générique 𝔛 η se rétracte sur l’un de ses sous-ensembles fermés noté S(𝔛) (c’est le squelette de 𝔛) qui possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si 𝔜𝔛 est un morphisme étale entre deux schémas formels pluristables alors S(𝔜) est l’image réciproque de S(𝔛), et S(𝔜)S(𝔛) est linéaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que si 𝔛 est pluristable purement de dimension n et si φ est un morphisme quelconque d’un espace strictement k-analytique topologiquement séparé de dimension n vers 𝔛 η alors φ -1 (S(𝔛)) possède une unique structure linéaire par morceaux telle que φ soit linéaire par morceaux.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2452
Classification:  14G22
Keywords: Berkovich spaces, piecewise-linear structures
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Ducros, Antoine. Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 483-506. doi : 10.24033/bsmf.2452. http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_4_483_0/

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