Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension

Ducros, Antoine

Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension [ Pre-image of the skeleton under a map between Berkovich spaces of the same dimension ]

Ducros, Antoine

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, p. 483-506

Abstract
Résumé

This article deals with Berkovich analytic spaces. Let $k$ be a complete field with respect to an ultrametric absolute value and let $𝔛$ be a formal scheme over the unit ball $k^{0}$ of $k$ . If $𝔛$ is pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad » ) then its generic fibre $𝔛_{η}$ admits a retraction toward a closed subset $S (𝔛)$ (the skeleton of $𝔛$ ) which carries a natural structure of piecewise-linear space. If $𝔜 \to 𝔛$ is an étale morphism between two pluri-stable formal schemes then $S (𝔜)$ is exactly the pre-image of $S (𝔛)$ , and $S (𝔜) \to S (𝔛)$ is piecewise-linear. Here we show that if $𝔛$ is pluri-stable of pure dimension $n$ and if $φ$ is any morphism from an Hausdorff strictly $k$ -analytic space of dimension $\leq n$ to $𝔛_{η}$ then $φ^{- 1} (S (𝔛))$ carries a unique piecewise-linear structure such that $φ$ is piecewise-linear.

Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich. Soit $k$ un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit $𝔛$ un schéma formel au-dessus de la boule unité $k^{0}$ de $k$ . Si $𝔛$ est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables » ) alors sa fibre générique $𝔛_{η}$ se rétracte sur l’un de ses sous-ensembles fermés noté $S (𝔛)$ (c’est le squelette de $𝔛$ ) qui possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si $𝔜 \to 𝔛$ est un morphisme étale entre deux schémas formels pluristables alors $S (𝔜)$ est l’image réciproque de $S (𝔛)$ , et $S (𝔜) \to S (𝔛)$ est linéaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que si $𝔛$ est pluristable purement de dimension $n$ et si $φ$ est un morphisme quelconque d’un espace strictement $k$ -analytique topologiquement séparé de dimension $\leq n$ vers $𝔛_{η}$ alors $φ^{- 1} (S (𝔛))$ possède une unique structure linéaire par morceaux telle que $φ$ soit linéaire par morceaux.

MR 2044492 | Zbl 1068.14024 | 1 citation in Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2452
Classification: 14G22
Keywords: Berkovich spaces, piecewise-linear structures

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Ducros, Antoine. Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 483-506. doi : 10.24033/bsmf.2452. http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_4_483_0/

References

[1] V. Berkovich - « Smooth $p$ -adic analytic spaces are locally contractible II », prépublication. | MR 1702143 | Zbl 0930.32016

[2] -, Spectral theory and analytic geometry over non-archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 33, AMS, Providence, RI, 1990. | MR 1070709 | Zbl 0715.14013

[3] -, « Étale cohomology for non-archimedean analytic spaces », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 78 (1993), p. 5-161. | Numdam | MR 1259429 | Zbl 0804.32019

[4] -, « Vanishing cycles for formal schemes », Invent. Math. 115 (1994), p. 539-571. | MR 1262943 | Zbl 0791.14008

[5] -, « Smooth $p$ -adic analytic spaces are locally contractible », Invent. Math. 137 (1999), p. 1-84. | MR 1702143 | Zbl 0930.32016

[6] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert - Non-Archimedean analysis. A systematic approach to rigid analytic geometry, Grundl. Math. Wiss., vol. 261, Springer-Verlag, 1984. | MR 746961 | Zbl 0539.14017

[7] N. Bourbaki - Algèbre commutative, Hermann, 1964. | MR 194450

[8] A. Ducros - « Cohomologie non ramifiée sur une courbe $p$ -adique lisse », Compositio Math. 130 (2002), p. 89-117. | MR 1883693 | Zbl 1057.14021