Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension

Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich. Soit $k$ un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit $𝔛$ un schéma formel au-dessus de la boule unité $k^0$ de $k$. Si $𝔛$ est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables » ) alors sa fibre générique ${𝔛}_{\eta }$ se rétracte sur l’un de ses sous-ensembles fermés noté $S\left(𝔛\right)$ (c’est le squelette de $𝔛$) qui possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si $𝔜\to 𝔛$ est un morphisme étale entre deux schémas formels pluristables alors $S\left(𝔜\right)$ est l’image réciproque de $S\left(𝔛\right)$, et $S\left(𝔜\right)\to S\left(𝔛\right)$ est linéaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que si $𝔛$ est pluristable purement de dimension $n$ et si $\phi$ est un morphisme quelconque d’un espace strictement $k$-analytique topologiquement séparé de dimension $\le n$ vers ${𝔛}_{\eta }$ alors ${\phi }^{-1}\left(S\left(𝔛\right)\right)$ possède une unique structure linéaire par morceaux telle que $\phi$ soit linéaire par morceaux.

This article deals with Berkovich analytic spaces. Let $k$ be a complete field with respect to an ultrametric absolute value and let $𝔛$ be a formal scheme over the unit ball $k^0$ of $k$. If $𝔛$ is pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad » ) then its generic fibre ${𝔛}_{\eta }$ admits a retraction toward a closed subset $S\left(𝔛\right)$ (the skeleton of $𝔛$) which carries a natural structure of piecewise-linear space. If $𝔜\to 𝔛$ is an étale morphism between two pluri-stable formal schemes then $S\left(𝔜\right)$ is exactly the pre-image of $S\left(𝔛\right)$, and $S\left(𝔜\right)\to S\left(𝔛\right)$ is piecewise-linear. Here we show that if $𝔛$ is pluri-stable of pure dimension $n$ and if $\phi$ is any morphism from an Hausdorff strictly $k$-analytic space of dimension $\le n$ to ${𝔛}_{\eta }$ then ${\phi }^{-1}\left(S\left(𝔛\right)\right)$ carries a unique piecewise-linear structure such that $\phi$ is piecewise-linear.

[1] V. Berkovich - « Smooth $p$-adic analytic spaces are locally contractible II », prépublication. | MR 1702143 | Zbl 0930.32016

[2] -, Spectral theory and analytic geometry over non-archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 33, AMS, Providence, RI, 1990. | MR 1070709 | Zbl 0715.14013

[3] -, « Étale cohomology for non-archimedean analytic spaces », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 78 (1993), p. 5-161. | Numdam | MR 1259429 | Zbl 0804.32019

[4] -, « Vanishing cycles for formal schemes », Invent. Math. 115 (1994), p. 539-571. | MR 1262943 | Zbl 0791.14008

[5] -, « Smooth $p$-adic analytic spaces are locally contractible », Invent. Math. 137 (1999), p. 1-84. | MR 1702143 | Zbl 0930.32016

[6] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert - Non-Archimedean analysis. A systematic approach to rigid analytic geometry, Grundl. Math. Wiss., vol. 261, Springer-Verlag, 1984. | MR 746961 | Zbl 0539.14017

[7] N. Bourbaki - Algèbre commutative, Hermann, 1964. | MR 194450

[8] A. Ducros - « Cohomologie non ramifiée sur une courbe $p$-adique lisse », Compositio Math. 130 (2002), p. 89-117. | MR 1883693 | Zbl 1057.14021