Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation  [ Focalisation d'impulsion et déphasage arbitraire pour une équation des ondes non-linéaire ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 2, p. 289-306
Nous considérons un système de deux équations des ondes linéaires conservatives, couplées non-linéairement, en dimension trois d’espace. Pour des données initiales radiales de type impulsions courtes, les solutions focalisent à l’origine lorsque la longueur d’onde tend vers zéro. Le caractère conservatif de l’équation fait que la traversée de la caustique n’est pas triviale : nous l’analysons pour des données initiales particulières. Il ressort que le déphasage entre l’onde entrante (avant focalisation) et l’onde sortante (après focalisation) se comporte en lnε, où ε représente la longueur d’onde.
We consider a system of two linear conservative wave equations, with a nonlinear coupling, in space dimension three. Spherical pulse like initial data cause focusing at the origin in the limit of short wavelength. Because the equations are conservative, the caustic crossing is not trivial, and we analyze it for particular initial data. It turns out that the phase shift between the incoming wave (before the focus) and the outgoing wave (past the focus) behaves like lnε, where ε stands for the wavelength.
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2444
Classification:  35B40,  35L70,  35P25
Mots clés: optique géométrique non-linéaire, impulsions courtes, caustique, scattering longue portée
@article{BSMF_2003__131_2_289_0,
     author = {Carles, R\'emi and Lannes, David},
     title = {Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {131},
     number = {2},
     year = {2003},
     pages = {289-306},
     doi = {10.24033/bsmf.2444},
     zbl = {1026.35081},
     mrnumber = {1988951},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_2_289_0}
}
Carles, Rémi; Lannes, David. Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 2, pp. 289-306. doi : 10.24033/bsmf.2444. http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_2_289_0/

[1] D. Alterman & J. Rauch - « Nonlinear geometric optics for short pulses », 178 (2002), no. 2, p. 437-465. | MR 1879833 | Zbl 1006.35015

[2] R. Carles - « Geometric optics with caustic crossing for some nonlinear Schrödinger equations », 49 (2000), no. 2, p. 475-551. | MR 1793681 | Zbl 0970.35143

[3] -, « Geometric optics and long range scattering for one-dimensional nonlinear Schrödinger equations », 220 (2001), no. 1, p. 41-67. | MR 1882399 | Zbl 1029.35211

[4] R. Carles & J. Rauch - « Focusing of Spherical Nonlinear Pulses in 1+3 , II. Nonlinear Caustic », to appear in Rev. Mat. Iberoamericana. | MR 2124490 | Zbl 1094.35081

[5] -, « Absorption d’impulsions non linéaires radiales focalisantes dans 1+3 », 332 (2001), no. 11, p. 985-990. | MR 1838124 | Zbl 0988.35120

[6] -, « Diffusion d’impulsions non linéaires radiales focalisantes dans 1+3 », 332 (2001), no. 12, p. 1077-1082. | MR 1847483 | Zbl 0985.35045

[7] -, « Focusing of spherical nonlinear pulses in 1+3 », 130 (2002), no. 3, p. 791-804. | MR 1866035 | Zbl 0983.35089

[8] -, « Focusing of Spherical Nonlinear Pulses in 1+3 , III. Sub and Supercritical cases » », Preprint, 2002. | MR 1866035 | Zbl 1095.35010

[9] J. Duistermaat - « Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities », 27 (1974), p. 207-281. | MR 405513 | Zbl 0285.35010

[10] J. Hunter & J. Keller - « Caustics of nonlinear waves », Wave motion 9 (1987), p. 429-443. | MR 909884 | Zbl 0645.35062

[11] J.-L. Joly, G. Métivier & J. Rauch - « Focusing at a point and absorption of nonlinear oscillations », 347 (1995), no. 10, p. 3921-3969. | MR 1297533 | Zbl 0857.35087

[12] -, « Several recent results in nonlinear geometric optics », Partial differential equations and mathematical physics (Copenhagen, 1995; Lund, 1995), Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996, p. 181-206. | MR 1380991 | Zbl 0854.35115

[13] -, Caustics for dissipative semilinear oscillations, vol. 144, no.685, American Mathematical Society, Providence, 2000. | MR 1682244

[14] P. Lax - « Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems », 24 (1957), p. 627-646. | MR 97628 | Zbl 0083.31801

[15] D. Ludwig - « Uniform asymptotic expansions at a caustic », 19 (1966), p. 215-250. | MR 196254 | Zbl 0163.13703