Deux composantes du bord de 𝐈 3
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, p. 537-572
Nous étudions deux nouvelles composantes irréductibles du bord de la variété 𝐈 3 des instantons de degré 3. Nous décrivons 𝐈 3 grâce aux transformations cubo-cubiques involutives déduites de la monade de Beilinson (ce sont des transformations de Cremona particulières). Nous exhibons alors les deux composantes du bord par dégénérescence sur les transformations. Nous mettons en évidence la dualité qui les lie : les transformations cubo-cubiques de l’une sont les inverses de l’autre. Nous décrivons en détail la géométrie associée et donnons ainsi des descriptions birationnelles de l’espace des modules des courbes de degré 7 et de genre 2 ainsi que des courbes de degré 9 et genre 6.
We study two new components of the boundary of 𝐈 3 the variety of degree 3 mathematical instantons. We describe 𝐈 3 thanks to the involutive cubo-cubic transformations induced by Beilinson’s monad (these are particular Cremona transformations). We then exhibit the two boundary components by making the transformations degenerate. We show that the two components are in duality : the cubo-cubic transforms of the first component are the inverse of those of the second one. We also describe in detail the associated geometry. In particular we give a birational description of the moduli space of genus 2 and degree 7 curves and of genus 6 and degree 9 curves.
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2429
Classification:  14D20
Mots clés: instantons, espaces de modules de faisceaux et de courbes, transformations birationnelles de l'espace projectif
@article{BSMF_2002__130_4_537_0,
     author = {Perrin, Nicolas},
     title = {Deux composantes du bord de ${\bf I}\_3$},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {130},
     number = {4},
     year = {2002},
     pages = {537-572},
     doi = {10.24033/bsmf.2429},
     zbl = {1065.14055},
     mrnumber = {1947452},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2002__130_4_537_0}
}
Perrin, Nicolas. Deux composantes du bord de ${\bf I}_3$. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 537-572. doi : 10.24033/bsmf.2429. http://www.numdam.org/item/BSMF_2002__130_4_537_0/

[1] M. Atiyah - « Vector bundles over an elliptic curve », Proc. Lond. Math. Soc. (3) VII (1957), p. 414-452. | MR 131423 | Zbl 0084.17305

[2] W. Barth - « Moduli of vector bundles on the projective plane », Invent. Math. 42 (1977), p. 63-91. | MR 460330 | Zbl 0386.14005

[3] L. Bayle & A. Beauville - « Birational involutions of 2 . Kodaira’s issue », Asian J. Math. 4 (2000), no. 1, p. 11-17. | MR 1802909 | Zbl 1055.14012

[4] E. Bertini - « Ricerche sulle transformazioni univoche involutorie nel piano », Annali di Mat. 8 (1877), p. 224-286. | JFM 09.0578.02

[5] G. Ellingsrud & S. Strømme - « Stable rank-2 vector bundles on 3 with c 1 =0 and c 2 =3 », Math. Ann. 255 (1981), p. 123-135. | MR 611278 | Zbl 0438.14009

[6] -, « On the Chow ring of a geometric quotient », Ann. of Math. 130 (1989), no. 1, p. 159-187. | MR 1005610 | Zbl 0716.14002

[7] W. Fulton & J. Harris - Representation Theory, Graduate Text in Math., vol. 129, Springer Verlag, 1991. | MR 1153249 | Zbl 0744.22001

[8] L. Gruson & C. Peskine - Courbes de l'espace projectif : variétés de sécantes, Enumerative Geometry and Classical Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1982. | Zbl 0531.14020

[9] L. Gruson & M. Skiti - « 3-instantons et réseaux de quadriques », Math. Ann. 298 (1994), p. 253-273. | MR 1256618 | Zbl 0810.14008

[10] R. Hartshorne - Algebraic Geometry, Graduate Text in Math., vol. 52, Springer Verlag, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[11] -, « Stable Reflexives Sheaves », Math. Ann. 254 (1980), p. 121-176. | Zbl 0431.14004

[12] M. Narasimhan & G. Trautmann - « Compactification of 𝐌 3 (0,2) and Poncelet pairs of conics », Pacific J. Math. 145 (1990), no. 2, p. 255-365. | MR 1069891 | Zbl 0753.14004

[13] C. Okonek, M. Schneider & H. Spindler - Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Math., Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1980. | MR 561910 | Zbl 1237.14003

[14] N. Perrin - « Courbes rationnelles sur les variétés homogènes », à paraître aux Ann. Inst. Fourier, 2002 ; prépublication : math.AG/0003199. | Numdam | Zbl 1037.14021

[15] -, « Lieu singulier des surfaces rationnelles », à paraître dans Math. Zeit., 2002 ; prépublication : math.AG/0101083.

[16] -, « Une composante du bord des instantons de degré 3 », C. R. Acad. Sci. Paris, série I Math. 330 (2000), no. 3, p. 217-220. | MR 1748311 | Zbl 1058.14017

[17] P. Rao - A family of vector bundles on 3 , Lecture Note in Math., vol. 1266, Springer Verlag, 1985. | Zbl 0646.14015

[18] M. Rosenlicht - « A remark on quotient spaces », Ann. Acad. Brasil. Ci. 35 (1963), p. 487-489. | MR 171782 | Zbl 0123.13804

[19] L. Roth & J. Semple - Introduction to Algebraic Geometry, Oxford Science Publications, 1949. | MR 34048 | Zbl 0576.14001

[20] R. Schwarzenberger - « Vector bundles on the projective plane », Proc. London Math. Soc. (3) 11 (1961), p. 623-640. | MR 137712 | Zbl 0212.26004

[21] M. Skiti - « Espace de module des fibrés vectoriels et groupe de Picard », en préparation.

[22] G. Trautmann - « Poncelet curves and associated theta characteristics », Exposition. Math. 6 (1988), no. 1, p. 29-64. | MR 927588 | Zbl 0646.14025

[23] J. Vallès - « Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner », Math. Zeit. 233 (2000), p. 507-514. | MR 1750934 | Zbl 0952.14011