Fermanian-Kammerer, Clotilde; Gérard, Patrick
Mesures semi-classiques et croisement de modes
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1 , p. 123-168
Zbl 0996.35004 | MR 1906196 | 7 citations dans Numdam
doi : 10.24033/bsmf.2416
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2002__130_1_123_0

Classification:  35B27,  35L,  35Q40
Mots clés: mesures semi-classiques (de Wigner), valeurs propres de multiplicité variable, formule de Landau-Zener, convergence à deux échelles
L’étude de la dynamique semi-classique d’électrons dans un cristal débouche naturellement sur le problème de l’évolution des mesures semi-classiques en présence d’un croisement de modes. Dans ce travail, nous étudions un système 2×2 qui présente un tel croisement. À cet effet, nous introduisons des mesures semi-classiques à deux échelles qui décrivent comment la transformée de Wigner usuelle se concentre sur l’ensemble des trajectoires rencontrant ce croisement. Puis nous établissons des formules explicites de type Landau-Zener reliant les traces de ces mesures de part et d’autre du croisement.
Semiclassical study of multidimensional crystals leads naturally to the following question: how do semi-classical measures propagate through energy level crossings ? In this contribution, we discuss a simple 2×2 system which displays such a crossing. For that purpose, we introduce two-scaled semi-classical measures, which describe how the usual Wigner transforms are concentrating on trajectories passing through the crossing points. Then we derive explicit formulae for the branching of such measures. These formulae are generalizations of the so-called Landau-Zener formulae.

Bibliographie

[1] S. Alinhac - « Branching of singularities for a class of hyperbolic operators », Indiana Univ. Math. J. 27 (1978), no. 6, p. 1027-1037. MR 511257 | Zbl 0502.35058

[2] S. Alinhac & P. Gérard - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, InterÉditions-Éditions du CNRS, 1991. Zbl 0791.47044

[3] A. Calderón & R. Vaillancourt - « On the boundedness of pseudo-differential operators », J. Math. Soc. Japan 23 (1971), no. 2, p. 374-378. MR 284872 | Zbl 0203.45903

[4] Y. Colin De Verdière - « Sur les singularités de Van Hove génériques », Analyse globale et physique mathématique (Lyon, 1989), Mém. Soc. Math. France (N.S.), vol. 46, 1991, p. 99-109. Numdam | MR 1125838 | Zbl 0773.47034

[5] Y. Colin De Verdière, M. Lombardi & J. Pollet - « The microlocal Landau-Zener formula », Ann. Inst. Henri Poincaré 71 (1999), no. 1, p. 95-127. Numdam | MR 1704655 | Zbl 0986.81027

[6] A. Cordoba & C. Fefferman - « Wave packets and Fourier integral operators », Comm. Part. Diff. Eq. 3 (1978), p. 979-1005. MR 507783 | Zbl 0389.35046

[7] C. Fermanian Kammerer - « Mesures semi-classiques deux-microlocales », C. R. Acad. Sci. Paris, Série 1 Math. 331 (2000), p. 515-518. MR 1794090 | Zbl 0964.35009

[8] P. Gérard - « Mesures semi-classiques et ondes de Bloch », Séminaire E.D.P. de l'École polytechnique, exposé No. XVI, 1991. Numdam | MR 1131589 | Zbl 0739.35096

[9] -, « Microlocal defect measures », Comm. Part. Diff. Eq. 16 (1991), p. 1761-1794. MR 1135919

[10] P. Gérard & E. Leichtnam - « Ergodic Properties of Eigenfunctions for the Dirichlet Problem », Duke Math. J. 71 (1993), p. 559-607. MR 1233448 | Zbl 0788.35103

[11] P. Gérard, P. Markowich, N. Mauser & F. Poupaud - « Homogenization Limits and Wigner Transforms », Comm. Pure Appl. Math. 50 (1997), no. 4, p. 323-379. MR 1438151 | Zbl 0881.35099

[12] G. Hagedorn - « Proof of the Landau-Zener formula in an adiabatic limit with small eigenvalue gaps », Commun. Math. Phys. 136 (1991), p. 433-449. MR 1099690 | Zbl 0723.35068

[13] -, Molecular Propagation through Electron Energy Level Crossings, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 111 no 536, American Mathematical Society, 1994. MR 1234882 | Zbl 0833.92025

[14] G. Hagedorn & A. Joye - « Landau-Zener transitions through small electronic eigenvalue gaps in the Born-Oppenheimer approximation », Ann. Inst. Henri Poincaré 68 (1998), no. 1, p. 85-134. Numdam | MR 1618922 | Zbl 0915.35090

[15] S. Helgason - Differential geometry, Lie groups and symetric spaces, Academic Press, 1978. MR 514561 | Zbl 0451.53038

[16] L. Hörmander - The analysis of linear Partial Differential Operators III, Springer-Verlag, 1985. Zbl 0601.35001

[17] I. Hwang - « The L 2 boundedness of pseudo-differential operators », Trans. Amer. Math. Soc. 302 (1987), p. 55-76. MR 887496 | Zbl 0651.35089

[18] A. Joye - « Proof of the Landau-Zener formula », Asymptotic Analysis 9 (1994), p. 209-258. MR 1295294 | Zbl 0814.35109

[19] N. Kaidi & M. Rouleux - « Forme normale d'un hamiltonien à deux niveaux près d'un point de branchement (limite semi-classique) », C. R. Acad. Sci. Paris, Série I Math 317 (1993), no. 4, p. 359-364. MR 1235449 | Zbl 0797.58083

[20] L. Landau - Collected papers of L. Landau, Pergamon Press, 1965.

[21] P.-L. Lions & T. Paul - « Sur les mesures de Wigner », Revista Mat. Iberoamericana 9 (1993), p. 553-618. MR 1251718 | Zbl 0801.35117

[22] P. Markowich, N. Mauser & F. Poupaud - « A Wigner function approach to semi-classical limits : electrons in a periodic potential », J. Math. Phys. 35 (1994), p. 1066-1094. MR 1262733 | Zbl 0805.35106

[23] L. Miller - « Propagation d'onde semi-classiques à travers une interface et mesures 2-microlocales », Thèse, École Polytechnique, 1996.

[24] -, « Refraction of high-frequency waves density by sharp interfaces and semiclassical measures at the boundary », J. Math. Pures Appl. 79 (2000), p. 227-269. MR 1750924 | Zbl 0963.35022

[25] F. Nier - « A Semi-Classical Picture of Quantum Scattering » 29 (1996), p. 149-183. Numdam | MR 1373932 | Zbl 0858.35106

[26] F. Poupaud & C. Ringhofer - « Semi-classical limits in a crystal with exterior potentials and effective mass theorems », Comm. Part. Diff. Eq. 21 (1996), no. 11-12, p. 1897-1918. MR 1421214 | Zbl 0885.35105

[27] D. Robert - Autour de l'approximation semi-classique, Birkhaüser, 1983. MR 897108 | Zbl 0621.35001

[28] M. Rouleux - « Tunneling effects for h pseudodifferential operators, Feshbach resonances, and the Born-Oppenheimer approximation », Evolution equations, Feshbach resonances, singular Hodge theory, Math. Top., vol. 16, Wiley-VCH, Berlin, 1999, p. 131-242. MR 1702114 | Zbl 0934.35145

[29] C. Zener - « Non-adiabatic crossing of energy levels », Proc. Roy. Soc. Lond. 137 (1932), p. 696-702. JFM 58.1356.02 | Zbl 0005.18605