Triplets spectraux pour les variétés à singularité conique isolée
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 4, p. 593-623
Sur une pseudo-variété de dimension paire à une singularité conique isolée, des triplets spectraux sont construits à partir d’une classe d’opérateurs différentiels elliptiques de type Fuchs, contenant les opérateurs de Dirac à coefficients dans des fibrés plats dans la direction radiale. Ces derniers engendrent, sous une hypothèse raisonnable, le groupe de K-homologie pair tensorisé par de la pseudo-variété et leur caractère de Chern est calculé.
We use elliptic operators of Fuchs type on an even dimensional pseudomanifold with an isolated singularity to construct spectral triples. This class of operators includes Dirac operators with coefficients in flat bundles in the radial direction and, under some hypothesis, these operators generate the even K-homology group tensorised by of the pseudomanifold. Moreover, their Chern character is computed.
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2409
Classification:  19D55,  58J42
Mots clés: formule locale de l'indice, variétés singulières
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Lescure, Jean-Marie. Triplets spectraux pour les variétés à singularité conique isolée. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 4, pp. 593-623. doi : 10.24033/bsmf.2409. http://www.numdam.org/item/BSMF_2001__129_4_593_0/

[1] P. Baum & R. Douglas - « K-homology and index theory », Proc. Sympos. Pure Math. 38 (1982), no. 1, p. 117-173. | MR 679698 | Zbl 0532.55004

[2] N. Berline, E. Getzler & M. Vergne - Heat kernels and Dirac operators, Comprehensive Studies in Math., vol. 298, Springer-Verlag, 1991. | MR 2273508 | Zbl 1037.58015

[3] J. Bost - « Principe d'Oka, K-théorie et systèmes dynamiques non commutatifs », Invent. Math. 101 (1990), p. 261-333. | MR 1062964 | Zbl 0719.46038

[4] J. Brüning & M. Lesch - « On the spectral geometry of algebraic curves », J. reine angew Math. 474 (1996), p. 25-66. | MR 1390691 | Zbl 0846.14018

[5] J. Brüning & R. Seeley - « Regular singular asymptotics », Advances in Math. 58 (1985), p. 133-148. | MR 814748 | Zbl 0593.47047

[6] -, « An index theorem for first order regular singular operators », Amer. J. Math. 110 (1988), p. 659-714. | MR 955293 | Zbl 0664.58035

[7] S. Chan - « Periodic cyclic cohomology Chern character for pseudomanifolds with one singular stratum », Proc. AMS 126 (1998), no. 3, p. 669-675. | MR 1452797 | Zbl 0894.19002

[8] J. Cheeger - « On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities », Proc. Nat. Acad. Sci. USA 76 (1979), p. 2103-2106. | MR 530173 | Zbl 0411.58003

[9] -, « Spectral geometry of singular riemannian spaces », J. Diff. Geom. 18 (1983), p. 575-657. | MR 730920 | Zbl 0529.58034

[10] A. Chou - « The Dirac operator on spaces with conical singularities and positive scalar curvatures », Trans. AMS 289 (1985), no. 1, p. 1-40. | MR 779050 | Zbl 0559.58024

[11] A. Connes - « Noncommutative differential geometry », Pub. IHES 62 (1985), p. 257-360. | Numdam | MR 823176 | Zbl 0592.46056

[12] -, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994. | MR 1303779

[13] A. Connes & H. Moscovici - « Cyclic cohomology, Novikov conjecture and hyperbolic groups », Topology 29 (1990), p. 345-388. | MR 1066176 | Zbl 0759.58047

[14] -, « The local index formula in noncommutative geometry », GAFA 5 (1995), no. 2, p. 174-243. | MR 1334867

[15] J. Cuntz & R. Quillen - « On excision in periodic cyclic cohomology II : the general case », C.R. Acad Sc. Paris Série I 318 (1994), p. 11-12. | MR 1260526 | Zbl 0803.18008

[16] E. Getzler - « Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah-Singer index theorem », Commun. Math. Phys. 92 (1983), p. 163-178. | MR 728863 | Zbl 0543.58026

[17] G. Grubb & R. Seeley - « Weakly parametric pseudodifferential operators and Atiyah-Patodi-Singer boundary problems », Invent. Math. 121 (1995), no. 3, p. 481-529. | MR 1353307 | Zbl 0851.58043

[18] A. Jaffe, A. Lesniewski & K. Osterwalder - « Quantum K-theory I. The Chern character », Commun. Math. Phy. 118 (1988), p. 1-14. | MR 954672 | Zbl 0656.58048

[19] G. Kasparov - « Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture », Invent. Math. 91 (1988), p. 147-201. | MR 918241 | Zbl 0647.46053

[20] H. Lawson & M. Michelsohn - Spin geometry, Princeton Math. Series, vol. 38, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1989. | MR 1031992 | Zbl 0688.57001

[21] M. Lesch - « Deficiency indices for symmetric Dirac operators on manifolds with conic singularities », Topology 32 (1993), no. 3, p. 611-623. | MR 1231967 | Zbl 0790.58046

[22] -, Operators of Fuchs type, conical singularities, and asymptotic methods, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft mbH, Stuttgart, 1997. | MR 1449639

[23] J.-M. Lescure - « Triplets spectraux pour les pseudovariétés à singularité conique isolée », Thèse de Doctorat, Université P. Sabatier, 1998. | Zbl 0936.46053

[24] R. Melrose - The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, Research Notes in Math., vol. 4, A. K. Peters, Massachusetts, 1993. | MR 1348401 | Zbl 0796.58050

[25] H. Moscovici & F. Wu - « Straight Chern character for Witt spaces », preprint IHES, 1996. | MR 1478705 | Zbl 0891.19002

[26] G. De Rham - Variétés différentiables, Publ. math. Univ. Nancago, vol. Actualités scient. indus., 1222, Hermann, Paris, trois. ed. 1973. | Zbl 0284.58001

[27] B. W. Schulze - Boundary value problems and singular pseudodifferential operators, Wiley-Intersciences, 1998. | MR 1631763 | Zbl 0907.35146

[28] M. Shubin - Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Verlag, 1980. | MR 1852334 | Zbl 0616.47040

[29] G. Skandalis - « Kasparov's bivariant K-theory and applications », Expositiones Math. 9 (1991), p. 193-250. | MR 1121156 | Zbl 0746.19008