Let be a commutative algebraic group defined over a number field . We consider the following question: Let be a positive integer and let . Suppose that for all but a finite number of primes of , we have for some . Can one conclude that there exists such that ? A complete answer for the case of the multiplicative group is classical. We study other instances and in particular obtain an affirmative answer when is a prime and is either an elliptic curve or a torus of small dimension with respect to . Without restriction on the dimension of a torus, we produce an example showing that the answer can be negative even when is a prime.
Pour un groupe algébrique commutatif , défini sur un corps de nombres , on se pose la question suivante : étant donnés un entier strictement positif et un élément de , on suppose que pour tout premier de , à l’exception d’au plus d’un nombre fini, il existe un élément de avec . Peut-on en déduire l’existence d’un élément de tel que l’on ait ? Une réponse complète à cette question est bien connue dans le cas où est le groupe multiplicatif . Nous étudions d’autres cas particuliers. Nous obtenons notamment une réponse affirmative dans le cas où est un nombre premier et où est, soit une courbe elliptique, soit un tore de dimension petite par rapport à . En outre, nous montrons par un exemple que, dans le cas où est un tore de dimension arbitraire, la réponse peut être négative, même si est un nombre premier.
Keywords: rationality questions, rational points
Mot clés : problèmes de rationalité, points rationnels
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Dvornicich, Roberto; Zannier, Umberto. Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 3, pp. 317-338. doi : 10.24033/bsmf.2399. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2399/
[1] « Groupes et algèbres de Lie », ch. 2 et 3, Hermann, Paris, 1972. | MR | Zbl
-[2] « La -équivalence sur les tores », Ann. Sci. École Norm. Sup. 10 (1977), p. 175-229. | Numdam | MR | Zbl
& -[3] « Groupe de Brauer et arithmétique des groupes linéaires sur un corps de nombres », J. reine angew. Math. 327 (1981), p. 12-80. | MR | Zbl
-[4] Algebraic Groups and Class Fields, Springer Verlag, 1988. | MR | Zbl
-Cited by Sources: