Purity of level m stratifications  [ Pureté des stratifications par l'échelon ]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 6, p. 925-955
Soit k un corps de caractéristique p>0. Soit D m un BT m sur k (i.e., un groupe de Barsotti-Tate tronqué en échelon m sur k). Soient S un k-schéma et X un BT m sur S. Soit S D m (X) le sous-schéma de S correspondant au lieu où X est isomorphe à D m localement pour la topologie fppf. Si p5, nous montrons que S D m (X) est pur dans S, i.e. l’immersion S D m (X)S est affine. Pour p{2,3}, nous prouvons la pureté pour D m satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la p-torsion D m [p]. Pour p5, nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l’échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.
Let k be a field of characteristic p>0. Let D m be a BT m over k (i.e., an m-truncated Barsotti-Tate group over k). Let S be a k-scheme and let X be a BT m over S. Let S D m (X) be the subscheme of S which describes the locus where X is locally for the fppf topology isomorphic to D m . If p5, we show that S D m (X) is pure in S, i.e. the immersion S D m (X)S is affine. For p{2,3}, we prove purity if D m satisfies a certain technical property depending only on its p-torsion D m [p]. For p5, we apply the developed techniques to show that all level m stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2136
Classification:  11E57,  11G10,  11G18,  11G25,  14F30,  14G35,  14L05,  14L15,  14L30,  14R20,  20G25
Mots clés: groupes de Barsotti-Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe, F cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura
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Nicole, Marc-Hubert; Vasiu, Adrian; Wedhorn, Torsten. Purity of level $m$ stratifications. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 6, pp. 925-955. doi : 10.24033/asens.2136. http://www.numdam.org/item/ASENS_2010_4_43_6_925_0/

[1] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergebn. Math. Grenzg. 21, Springer, 1990. | Zbl 0705.14001

[2] E. Cline, B. Parshall & L. Scott, Induced modules and affine quotients, Math. Ann. 230 (1977), 1-14. | MR 470094 | Zbl 0378.20033

[3] P. Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, 247-289. | MR 546620 | Zbl 0437.14012

[4] E. Z. Goren, Hasse invariants for Hilbert modular varieties, Israel J. Math. 122 (2001), 157-174. | MR 1826497 | Zbl 1066.11018

[5] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Publ. Math. I.H.É.S. 8 (1961), 222. | Numdam | Zbl 0118.36206

[6] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Publ. Math. I.H.É.S. 24 (1965), 231. | Numdam | Zbl 0135.39701

[7] A. Grothendieck & J. Dieudonné, Éléments de Géométrie Algébrique, I. Le langage des schémas, Grundl. der Math. Wiss. 166, Springer, 1971. | Zbl 0203.23301

[8] G. Harder, Über die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen. II, Math. Z. 92 (1966), 396-415. | MR 202918 | Zbl 0152.01001

[9] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck), Séminaire sur les pinceaux arithmétiques : la conjecture de Mordell (Paris, 1983/84), Astérisque 127 (1985), 151-198. | MR 801922 | Zbl 1182.14050

[10] T. Itō, Hasse invariants for some unitary Shimura varieties, in Algebraische Zahlentheorie, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 2005, 1565-1568.

[11] A. J. De Jong & F. Oort, Purity of the stratification by Newton polygons, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), 209-241. | MR 1703336 | Zbl 0954.14007

[12] R. E. Kottwitz, Points on some Shimura varieties over finite fields, J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), 373-444. | MR 1124982 | Zbl 0796.14014

[13] H. Kraft, Kommutative algebraische p-Gruppen (mit Anwendungen auf p-divisible Gruppen und abelschen Varietäten), preprint, 86 p., Univ. Bonn, 1975. | MR 393051

[14] G. Laumon & L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Ergebn. Math. Grenzg. 39, Springer, 2000. | MR 1771927 | Zbl 0945.14005

[15] Y. Manin, The theory of commutative formal groups in finite caracteristic, Russian Math. Surv. 18 (1963), 1-83. | Zbl 0128.15603

[16] B. Moonen, Group schemes with additional structures and Weyl group cosets, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 255-298. | MR 1827024 | Zbl 1084.14523

[17] B. Moonen & T. Wedhorn, Discrete invariants of varieties in positive characteristic, Int. Math. Res. Not. 2004 (2004), 3855-3903. | MR 2104263 | Zbl 1084.14023

[18] D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan, Geometric invariant theory, third éd., Ergebn. Math. Grenzg. 34, Springer, 1994. | MR 1304906 | Zbl 0797.14004

[19] F. Oort, Newton polygons and formal groups: conjectures by Manin and Grothendieck, Ann. of Math. 152 (2000), 183-206. | MR 1792294 | Zbl 0991.14016

[20] F. Oort, A stratification of a moduli space of abelian varieties, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 345-416. | MR 1827027 | Zbl 1052.14047

[21] B. Pascal, Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math. 177 (2009), 239-280. | MR 2511742 | Zbl 1172.14016

[22] C. Traverso, p-divisible groups over fields, in Symposia Mathematica, Vol. XI (Convegno di Algebra Commutativa, INDAM, Rome, 1971), Academic Press, 1973, 45-65. | MR 344262 | Zbl 0293.14011

[23] C. Traverso, Specializations of Barsotti-Tate groups, in Symposia Mathematica, Vol. XXIV (Sympos., INDAM, Rome, 1979), Academic Press, 1981, 1-21. | MR 619238 | Zbl 0466.14016

[24] A. Vasiu, Crystalline boundedness principle, Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), 245-300. | Numdam | MR 2245533 | Zbl 1143.14037

[25] A. Vasiu, Level m stratifications of versal deformations of p-divisible groups, J. Algebraic Geom. 17 (2008), 599-641. | MR 2424922 | Zbl 1152.14022

[26] A. Vasiu, Mod p classification of Shimura F-crystals, Math. Nachr. 283 (2010), 1068-1113. | MR 2680723 | Zbl 1264.11053

[27] A. Vasiu, Manin problems for Shimura varieties of Hodge type, preprint, arXiv:math/0209410. | MR 2789744 | Zbl 1228.11088

[28] T. Wedhorn, The dimension of Oort strata of Shimura varieties of PEL-type, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 441-471. | MR 1827029 | Zbl 1052.14026

[29] T. Zink, On the slope filtration, Duke Math. J. 109 (2001), 79-95. | MR 1844205 | Zbl 1061.14045